مؤثر متراص কী?

مثال 15.3

(a) المؤثرات القطرية على $\ell^2$: يكون $T(x_n) = (\lambda_nx_n)$ متراصًّا إذا وفقط إذا كان $\lambda_n \to 0$ (التمرين 15.2). (b) مؤثرات النواة على $\mathcal C(\intcc01)$: متراصة بأسكولي (التمرين 7.7). (c) مؤثرات هيلبرت–شميدت: من أجل $k \in L^2(\intcc01^2)$،

يعرّف مؤثرًا متراصًّا على $L^2(\intcc01)$ مع $\vertiii{T_k} \leq \norm k_{L^2}$ (التمرين 15.4: إذ يُبرز بترُ نشر $k$ في الأساس المؤثرَ $T_k$ نهايةً لمؤثرات منتهية الرتبة).

مثال 15.9

على $L^2(\intcc01)$، لتكن $Tf(x) = \int_0^1\min(x, y)f(y)\dd y$: وهي مؤثر هيلبرت–شميدت ذو نواة حقيقية متناظرة: فهو متراص وذاتي المرافقة. وبحل $Tf = \lambda f$: تبيّن العلاقة $\bigl(Tf\bigr)(x) = \int_0^xyf(y)\dd y + x\int_x^1f(y)\dd y$ أن $u = Tf$ يحقق $u'' = -f$ (باشتقاقين، وهو مشروع من أجل $f$ متصلة، و $Tf$ متصلة من أجل $f \in L^2$: بالتقارب المهيمن)، مع $u(0) = 0$ و $u'(1) = 0$. ومنه تحل الدوال الذاتية $\lambda u'' = -u$ مع $u(0) = 0$ و $u'(1) = 0$:

وتؤكد المبرهنة الطيفية — دون أي نظرية فورييه — أن هذه الجيوب تشكّل، بعد التعيير، أساسًا متعامدًا متجانسًا للفضاء $L^2(\intcc01)$ (إذ نواة $T$ هي $0$: إذ إن $Tf = 0$ يفرض، بالاشتقاقين، أن $f = 0$ في كل مكان تقريبًا). وتجري مسألة نهاية الأسبوع دائرة الأفكار نفسها من أجل الوتر المهتز وتستخرج $\zeta(2)$ من الأثر.