ما معنى الاحتمال الشرطي؟

مثال 32.6 (اختبار مسح)

مرض يصيب $1\%$ من السكان. واختبار يكشفه باحتمال $0.99$ (وهي الحساسية) ويعطي إيجابيًا كاذبًا باحتمال $0.05$. وعلمًا بأن الاختبار إيجابي، يكون احتمال الإصابة بالمرض فعلًا

ورغم دقة الاختبار، فإن خمسة إيجابيات من ست كاذبة — لأن المرض نادر. والخلط بين $\pcond{A}{B}$ و $\pcond{B}{A}$ هو مغالطة المدّعي العام.

مثال 21.12 (الشرط قد يخلق انتظاما)

نرمي نردين متزنين ونشترط أن يكون المجموع $7$: فمن أجل كل $k \in \intint16$،

أي إن النرد الأول، علما بأن المجموع $7$، منتظم تماما — فالمجموع $7$ هو الوحيد المتوافق مع كل وجه، ومنه فإن الشرط يمحو كل معلومة عن $X$. وأي مجموع آخر يشوّه القانون (فعلما بأن $S = 4$، يكون النرد الأول منتظما على $\{1, 2, 3\}$ فقط). وحساب قانون شرطي يعني إعادة توحيد الأوزان المشتركة على طول حدث الشرط، لا أكثر.

مثال 21.13 (السحب الثاني بجودة الأول)

يحوي جرة $3$ كرة بيضاء و$2$ كرة سوداء؛ ونسحب كرتين دون إرجاع. والكل متفق على أن $\P(W_1) = \frac35$؛ فما قيمة $\P(W_2)$؟ بالاحتمالات الكلية على السحب الأول:

أي $\P(W_1)$ بالضبط. ولم يكن أي حساب لازما: فبالتناظر، لكل كرة الاحتمال نفسه في أن تكون الكرة الثانية المسحوبة، ومنه فإن للسحب الثاني — دون شرط — القانون نفسه للسحب الأول. فالشرط على نتيجة السحب الأول يغير الحظوظ؛ أما عدم معرفتها فلا. وتعود حجة التبادلية هذه في الفصل التالي من أجل المعاينة دون إرجاع، حيث تعطي المتوسط فوق الهندسي $np$ دون أي متطابقات ثنائية الحد البتة.

مثال 21.15 (تصادم أعياد الميلاد، بقاعدة السلسلة)

مع $n$ شخصا أعياد ميلادهم مستقلة ومنتظمة على $365$ يوما، نجعل $D_n = {}$“جميع أعياد الميلاد $n$ مختلفة”. وبالشرط شخصا بعد شخص (قاعدة السلسلة):

إذ يجب على كل شخص جديد أن يتجنب الأيام $k$ المأخوذة أصلا. ومن أجل $n = 23$: $\P(D_{23}) \approx 0.493$ — فتقاسم عيد ميلاد صار أرجح من عدمه أصلا. والحدس الذي يفسر صغر $23$: بأخذ اللوغاريتمات، $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$، ويعطي $\binom{23}2 = 253$ المقدار $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$. والمهم هو عدد الأزواج، وهو ينمو تربيعيا: فمسائل التصادم تعيش على السلّم $n \sim \sqrt{365}$ لا $n \sim 365$ — ومنه فمفارقة أعياد الميلاد جذر تربيعي متنكر.