¿Qué es Probabilidad condicional?

Ejemplo 32.6 (Prueba de cribado)

Una enfermedad afecta al $1\,\%$ de una población. Una prueba la detecta con probabilidad $0.99$ (sensibilidad) y da un falso positivo con probabilidad $0.05$. Dada una prueba positiva, la probabilidad de estar realmente enfermo es

Pese a lo fiable que es la prueba, cinco de cada seis positivos son falsos, y eso es porque la enfermedad es rara. Confundir $\pcond{A}{B}$ con $\pcond{B}{A}$ es la falacia del fiscal.

Ejemplo 21.12 (Condicionar puede crear uniformidad)

Lánzense dos dados equilibrados y condiciónese a que la suma sea $7$: para cada $k \in \intint16$,

dada una suma de $7$, el primer dado es exactamente uniforme; $7$ es el único total compatible con todas las caras, así que el condicionamiento borra toda la información sobre $X$. Cualquier otro total sesga la ley (dado $S = 4$, el primer dado es uniforme solo sobre $\{1, 2, 3\}$). Calcular una ley condicionada consiste en renormalizar los pesos conjuntos a lo largo del suceso condicionante, y en nada más.

Ejemplo 21.13 (La segunda extracción es tan buena como la primera)

Una urna contiene $3$ bolas blancas y $2$ negras; extráiganse dos sin reemplazamiento. Todos coinciden en que $\P(W_1) = \frac35$; ¿cuánto vale $\P(W_2)$? Probabilidad total a lo largo de la primera extracción:

exactamente $\P(W_1)$. No hacía falta ningún cálculo: por simetría, toda bola tiene la misma probabilidad de ser la segunda extraída, así que la segunda extracción —incondicionalmente— tiene la misma ley que la primera. Condicionar al primer resultado cambia las probabilidades; no conocerlo, no. Este argumento de intercambiabilidad regresa en el capítulo siguiente para el muestreo sin reemplazamiento, donde da la media hipergeométrica $np$ sin ninguna identidad binomial.

Ejemplo 21.15 (La colisión de cumpleaños, por la regla de la cadena)

Con $n$ personas cuyos cumpleaños son independientes y uniformes sobre $365$ días, sea $D_n = {}$“los $n$ cumpleaños son todos distintos”. Condicionando persona a persona (regla de la cadena):

pues cada nueva persona ha de evitar los $k$ días ya ocupados. Para $n = 23$: $\P(D_{23}) \approx 0.493$; un cumpleaños compartido es ya más probable que improbable. La heurística que explica la pequeñez de $23$: tomando logaritmos, $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$, y $\binom{23}2 = 253$ da $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$. Lo que importa es el número de parejas, que crece cuadráticamente: los problemas de colisión viven en la escala $n \sim \sqrt{365}$, no en $n \sim 365$; la paradoja del cumpleaños es una raíz cuadrada disfrazada.