9الاحتمالات والمعاينة

حل المسألة 9.1.

1. $P(\text{ملك أو كوبة}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$: فملك الكوبة يقع في الحادثتين ويجب أن لا يُحسب مرتين — ومن هنا الطرح (المبرهنة 9.6).

2. $P(\text{لا صورة}) = \left(\frac12\right)^3 = \frac18$، إذن $P(\text{واحدة على الأقل}) = \frac78$.

3. $P(RR) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$؛ $P(\text{واحدة من كل}) = \frac35 \times \frac24 + \frac25 \times \frac34 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac35$.

4. $P(BB) = \frac25 \times \frac14 = \frac1{10}$؛ و $\frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = 1$: فمجموع أوراق الشجرة يساوي $1$ دائمًا.

5. تخضع الحادثتان المتنافيتان للعلاقة $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1.1 > 1$: وهذا مستحيل — فقد اختُلق بعض الاحتمال.

6. (يجيب معظم الناس، ومنهم كتّاب الرسائل الألف، بقولهم “لا يهم، النصف بالنصف”. احتفظ بجوابك من أجل السؤال 8.)

7. السيارة خلف الباب 1 (باحتمال $\frac13$): يفتح المقدّم أيًّا من بابَي العنزتين؛ والتبديل يترك السيارة: خسارة. السيارة خلف الباب 2 ($\frac13$): يجب أن يفتح المقدّم الباب 3؛ والتبديل يحط على الباب 2: فوز. السيارة خلف الباب 3: بالتناظر: فوز. والمجموع: $P(\text{التبديل يفوز}) = \frac13 + \frac13 = \frac23$.

8. يكون اختيارك الأول خاطئًا باحتمال $\frac23$ — وعندئذٍ بالضبط، يترك كشف المقدّم المُلزَم السيارةَ خلف الباب الباقي: فالتبديل يحوّل كل خطأ أول إلى فوز. إذن $\frac23$، مهما قال الحدس.

9. ستة سيناريوهات متساوية الاحتمال: السيارة خلف $1$ أو $2$ أو $3$، والمقدّم يفتح الباب $2$ أو $3$ (ولا يفتح بابك أبدًا). ويكشف الفتح السيارة في اثنين منها (سيارة عند 2 وفتح 2، وسيارة عند 3 وفتح 3): فيُستبعدان. وبين السيناريوهات الأربعة الباقية — سيارة عند 1 وفتح 2، وسيارة عند 1 وفتح 3، وسيارة عند 2 وفتح 3، وسيارة عند 3 وفتح 2 — يفوز التبديل في الأخيرين: $\frac24 = \frac12$. فمع مقدّم جاهل، يكون “النصف بالنصف” صحيحًا: إذ تعيش المفارقة كلها في معرفة المقدّم، التي ترشّح السيناريوهات ترشيحًا غير متكافئ.

10. يحمل اختيارك السيارة باحتمال $\frac{1}{100}$؛ وتصبّ كشوف المقدّم العليم $98$ الاحتمالَ الباقي $\frac{99}{100}$ على الباب المغلق الوحيد. فبدّل، واربح $99$ مرة من كل $100$.

11. ثلاث أوراق (آس وورقتان أخريان)، وصديق يسترق النظر ويتخلص دائمًا من ورقة غير الآس من بين الورقتين اللتين لم تخترهما؛ العب $300$ جولة مبدّلًا دائمًا، وسجّل الفوز. والتواتر المنتظر $\frac23 \approx 0.667$، مع تذبذب $\pm\frac{1}{\sqrt{300}} \approx 0.058$: أي توقّع ما بين نحو $61\,\%$ و $72\,\%$ من الفوز بالتبديل — وهو بعيد عن أي “نصف بالنصف”.

12. التشكيلات المتساوية الاحتمال (الأكبر ثم الأصغر): ولد-ولد، وولد-بنت، وبنت-ولد، وبنت-بنت. و“أحدهما على الأقل ولد” تبقي ثلاثًا منها: $P(\text{BB}) = \frac13$.

13. أما “الأكبر ولد” فتبقي حالتين: $P(\text{BB}) = \frac12$. فالمعلومات المختلفة ترشّح مجموعات سيناريوهات مختلفة — تمامًا كما فعلت صيغتا مونتي: فما تتعلمه يهم، وكيف تعلمته يهم بالقدر نفسه.

14. كلها متماثلة: صورة-صورة-صورة، وكتابة-كتابة-كتابة: $\frac28 = \frac14$. وخطأ دالمبير: أن “حالتيه” ليستا متساويتي الاحتمال — إذ إن “ليست كلها متماثلة” تحزم ستًّا من الإمكانيات الثماني. و القضية 9.3 لا تعدّ إلا على إمكانيات متساوية الاحتمال.

15. المكاسب المتوسطة لكل لعبة: $6 \times \frac16 + 3 \times \frac16 = 1.50$ يورو، مقابل رهان $2$ يورو: أي خسارة متوسطة قدرها $0.50$ لكل لعبة، ونحو $300$ يورو على مدى $600$ لعبة. والقسط العادل يساوي المدفوع المتوسط: $1\,\% \times 10\,000 = 100$ يورو؛ أما الأقساط الحقيقية فتضيف التكاليف وهامش أمان — إذ يجب أن يصمد المؤمِّن في السنوات السيئة، لا في المتوسطة فحسب.

16. الفترة: $0.5 \pm \frac{1}{\sqrt{100}} = \intcc{0.4}{0.6}$. فالنتيجة $55$ صورة ($0.55$): داخلها، ولا شيء لافت. أما $70$ صورة ($0.70$): فبعيدة خارجها — فشكّك في القطعة النقدية.

17. $\frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0.032$: أي أن مرشحًا نسبته $50\,\%$ عادلة يحصل عادةً على $\intcc{0.468}{0.532}$ — والقيمة $0.52$ تقع مرتاحة داخلها. فالاستطلاع يوحي بتقدّم لكنه لا يبرهن على شيء: فالهامش يبتلعه.

18. العينة الأولى: الفترة $0.04 \pm \frac{1}{20} = \intcc{0}{0.09}$؛ والقيمة المرصودة $0.07$ داخلها: فلا حكم. والعينة الثانية: $0.04 \pm \frac{1}{50} = \intcc{0.02}{0.06}$؛ والقيمة المرصودة $0.07$ تقع خارجها: فالادعاء الآن في شك جدي. التواتر نفسه وأداة أحدّ: فالدقة تنمو مثل $\sqrt n$.

19. ينكمش التذبذب مثل $\frac{1}{\sqrt n}$: فتربيع حجم العينة أربع مرات ينصّف الضجيج. أما التحيّز — أي سؤال الجمهور الخطأ — فيصمد أمام أي $n$: فمليونا بطاقة مختارة اختيارًا سيئًا بقيت خاطئة (مسألة نهاية الأسبوع عن كيف تكذب المعطيات في الكتاب السابق).

20. (1) تحقق من تساوي احتمال الإمكانيات قبل العدّ — وهو ما نسيه دالمبير. (2) الأشجار تضرب على طول الفروع؛ و“واحدة على الأقل” تستسلم للمتممة. (3) المعلومة ترشّح السيناريوهات، ومصدرها يغيّر الترشيح — مونتي العليم في مواجهة مونتي الساقط، و الأكبر ولد في مواجهة أحدهما ولد. (4) تقترب التواترات من الاحتمالات بسرعة $\frac{1}{\sqrt n}$، فتحسم محاكاة صبورة أي جدال — بما فيه جدال مع عشرة آلاف كاتب رسالة غاضب.