Qu'est-ce que « Probabilité conditionnelle » ?

Exemple 32.6 (Test de dépistage)

Une maladie touche $1\%$ d’une population. Un test la détecte avec probabilité $0.99$ (sensibilité) et donne un faux positif avec probabilité $0.05$. Sachant un test positif, la probabilité d’avoir effectivement la maladie est

Malgré le test précis, cinq positifs sur six sont des faux — parce que la maladie est rare. Confondre $\pcond{A}{B}$ avec $\pcond{B}{A}$ est le sophisme du procureur.

Exemple 21.12 (Le conditionnement peut créer de l’uniformité)

Lançons deux dés équilibrés et conditionnons par le fait que la somme vaut $7$ : pour chaque $k \in \intint16$,

sachant une somme de $7$, le premier dé est exactement uniforme — $7$ est le seul total compatible avec chaque face, de sorte que le conditionnement efface toute information sur $X$. Tout autre total biaise la loi (sachant $S = 4$, le premier dé est uniforme sur $\{1, 2, 3\}$ seulement). Calculer une loi conditionnelle revient à renormaliser les poids joints le long de l’événement de conditionnement, rien de plus.

Exemple 21.13 (Le second tirage vaut le premier)

Une urne contient $3$ boules blanches et $2$ noires ; on tire deux boules sans remise. Tout le monde s’accorde sur $\P(W_1) = \frac35$ ; que vaut $\P(W_2)$ ? Probabilité totale le long du premier tirage :

exactement $\P(W_1)$. Aucun calcul n’était nécessaire : par symétrie, chaque boule a la même probabilité d’être la seconde tirée, de sorte que le second tirage — inconditionnellement — a la même loi que le premier. Conditionner par le premier résultat change les cotes ; l’ignorer ne les change pas. Cet argument d’échangeabilité revient au chapitre suivant pour l’échantillonnage sans remise, où il donne la moyenne hypergéométrique $np$ sans aucune identité binomiale.

Exemple 21.15 (La collision d’anniversaires, par la règle des probabilités composées)

Avec $n$ personnes dont les anniversaires sont indépendants et uniformes sur $365$ jours, posons $D_n = {}$« les $n$ anniversaires sont tous distincts ». En conditionnant personne par personne (règle des probabilités composées) :

chaque nouvelle personne devant éviter les $k$ jours déjà pris. Pour $n = 23$ : $\P(D_{23}) \approx 0.493$ — un anniversaire partagé est déjà plus probable qu’improbable. L’heuristique qui explique la petitesse de $23$ : en prenant les logarithmes, $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$, et $\binom{23}2 = 253$ donne $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$. Ce qui importe, c’est le nombre de paires, qui croît quadratiquement : les problèmes de collision vivent à l’échelle $n \sim \sqrt{365}$, non $n \sim 365$ — le paradoxe des anniversaires est une racine carrée déguisée.