Wat is Voorwaardelijke kans?

Voorbeeld 32.6 (Screeningstest)

Een ziekte treft $1\%$ van een bevolking. Een test spoort ze op met kans $0.99$ (gevoeligheid) en geeft een vals positief resultaat met kans $0.05$. Gegeven een positieve test is de kans dat je de ziekte werkelijk hebt

Ondanks de nauwkeurige test zijn vijf van de zes positieven vals — omdat de ziekte zeldzaam is. $\pcond{A}{B}$ met $\pcond{B}{A}$ verwarren is de denkfout van de aanklager.

Voorbeeld 21.12 (Voorwaardelijk stellen kan uniformiteit scheppen)

Gooi met twee eerlijke dobbelstenen en stel voorwaardelijk dat de som $7$ is: voor elke $k \in \intint16$ is

gegeven een som van $7$ is de eerste dobbelsteen precies uniform — $7$ is de enige som die met elk aantal ogen verenigbaar is, dus wist het voorwaardelijk stellen alle informatie over $X$ uit. Elke andere som scheeftrekt de verdeling (gegeven $S = 4$ is de eerste dobbelsteen alleen uniform op $\{1, 2, 3\}$). Een voorwaardelijke verdeling berekenen betekent de gezamenlijke gewichten langs de voorwaardelijke gebeurtenis hernormaliseren, meer niet.

Voorbeeld 21.13 (De tweede trekking is even goed als de eerste)

Een urne bevat $3$ witte en $2$ zwarte ballen; trek er twee zonder teruglegging. Iedereen is het erover eens dat $\P(W_1) = \frac35$; wat is $\P(W_2)$? Totale kans langs de eerste trekking:

precies $\P(W_1)$. Er was geen berekening nodig: wegens de symmetrie heeft elke bal evenveel kans om als tweede te worden getrokken, dus heeft de tweede trekking — onvoorwaardelijk — dezelfde verdeling als de eerste. Voorwaardelijk stellen op de eerste uitkomst verandert de kansen; haar niet kennen niet. Dit argument met verwisselbaarheid keert in het volgende hoofdstuk terug voor het steekproeven zonder teruglegging, waar het het hypergeometrische gemiddelde $np$ geeft, zonder enige binomiale identiteit.

Voorbeeld 21.15 (De verjaardagsbotsing, met de kettingregel)

Met $n$ mensen wier verjaardagen onafhankelijk en uniform over $365$ dagen verdeeld zijn, zij $D_n = {}$“alle $n$ verjaardagen verschillen”. Persoon voor persoon voorwaardelijk stellen (kettingregel) geeft

waarbij elke nieuwe persoon de $k$ reeds bezette dagen moet vermijden. Voor $n = 23$: $\P(D_{23}) \approx 0.493$ — een gedeelde verjaardag is al waarschijnlijker dan niet. De heuristiek die de kleinheid van $23$ verklaart: logaritmen nemen geeft $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$, en $\binom{23}2 = 253$ geeft $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$. Wat telt is het aantal paren, dat kwadratisch groeit: botsingsproblemen leven op de schaal $n \sim \sqrt{365}$, niet $n \sim 365$ — de verjaardagsparadox is een vierkantswortel in vermomming.