O que é Probabilidade condicional?

Exemplo 32.6 (Teste de triagem)

Uma doença atinge $1\%$ de uma população. Um teste a detecta com probabilidade $0.99$ (sensibilidade) e dá um falso positivo com probabilidade $0.05$. Dado um teste positivo, a probabilidade de realmente ter a doença é

Apesar da precisão do teste, cinco em cada seis positivos são falsos — porque a doença é rara. Confundir $\pcond{A}{B}$ com $\pcond{B}{A}$ é a falácia do promotor.

Exemplo 21.12 (O condicionamento pode criar uniformidade)

Lance dois dados honestos e condicione a soma valer $7$: para cada $k \in \intint16$,

dada uma soma de $7$, o primeiro dado é exatamente uniforme — $7$ é o único total compatível com todas as faces, de modo que o condicionamento apaga toda informação sobre $X$. Qualquer outro total enviesa a lei (dado $S = 4$, o primeiro dado é uniforme apenas em $\{1, 2, 3\}$). Calcular uma lei condicional significa renormalizar os pesos conjuntos ao longo do evento condicionante, nada mais.

Exemplo 21.13 (O segundo sorteio vale tanto quanto o primeiro)

Uma urna contém $3$ bolas brancas e $2$ pretas; sorteiam-se duas sem reposição. Todos concordam que $\P(W_1) = \frac35$; quanto vale $\P(W_2)$? Probabilidade total ao longo do primeiro sorteio:

exatamente $\P(W_1)$. Nenhum cálculo era necessário: por simetria, toda bola tem a mesma chance de ser a segunda sorteada, de modo que o segundo sorteio — incondicionalmente — tem a mesma lei que o primeiro. Condicionar ao primeiro resultado muda as chances; não conhecê-lo, não. Esse argumento de permutabilidade volta no próximo capítulo para a amostragem sem reposição, em que dá a média hipergeométrica $np$ sem identidade binomial alguma.

Exemplo 21.15 (A colisão de aniversários, pela regra da cadeia)

Com $n$ pessoas cujos aniversários são independentes e uniformes em $365$ dias, seja $D_n = {}$“todos os $n$ aniversários diferem”. Condicionando pessoa a pessoa (regra da cadeia):

cada nova pessoa tendo de evitar os $k$ dias já ocupados. Para $n = 23$: $\P(D_{23}) \approx 0.493$ — um aniversário compartilhado já é mais provável do que não. A heurística que explica a pequenez de $23$: tomando logaritmos, $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$, e $\binom{23}2 = 253$ dá $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$. O que importa é o número de pares, que cresce quadraticamente: os problemas de colisão vivem na escala $n \sim \sqrt{365}$, e não $n \sim 365$ — o paradoxo dos aniversários é uma raiz quadrada disfarçada.