सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?

उदाहरण 32.6 (छानबीन परीक्षण)

कोई रोग समष्टि के $1\%$ को प्रभावित करता है। परीक्षण उसे प्रायिकता $0.99$ से पकड़ लेता है (सुग्राहिता) और प्रायिकता $0.05$ से मिथ्या धनात्मक देता है। धनात्मक परीक्षण मिलने पर सचमुच रोग होने की प्रायिकता है

इतने यथार्थ परीक्षण के बावजूद छह में से पाँच धनात्मक मिथ्या हैं — क्योंकि रोग विरला है। $\pcond{A}{B}$ को $\pcond{B}{A}$ समझ लेना ही अभियोजक की भ्रांति है।

उदाहरण 21.12 (प्रतिबंधन एकसमानता पैदा कर सकता है)

दो निष्पक्ष पासे फेंकिए और योग $7$ होने पर प्रतिबंधित कीजिए: हर $k \in \intint16$ के लिए

अर्थात् योग $7$ दिया हो तो पहला पासा ठीक-ठीक एकसमान है — $7$ ही वह अकेला योग है जो हर फलक के अनुकूल है, अतः प्रतिबंधन $X$ के विषय में सारी सूचना मिटा देता है। और कोई भी दूसरा योग नियम को तिरछा कर देता है (योग $S = 4$ दिया हो तो पहला पासा केवल $\{1, 2, 3\}$ पर एकसमान है)। किसी सप्रतिबंध नियम का परिकलन प्रतिबंधन-घटना के अनुदिश संयुक्त भारों का पुनःसामान्यीकरण है, और कुछ नहीं।

उदाहरण 21.13 (दूसरी खींच पहली जितनी ही अच्छी है)

किसी कलश में $3$ सफ़ेद और $2$ काली गेंदें हैं; बिना प्रतिस्थापन दो खींचिए। सब मानते हैं कि $\P(W_1) = \frac35$; तो $\P(W_2)$ क्या है? पहली खींच के अनुदिश पूर्ण प्रायिकता:

अर्थात् ठीक $\P(W_1)$। किसी परिकलन की ज़रूरत नहीं थी: सममिति से हर गेंद के दूसरी खींची जाने की संभावना बराबर है, अतः दूसरी खींच का — बिना प्रतिबंधन के — वही नियम है जो पहली का। पहले परिणाम पर प्रतिबंधन संभावनाएँ बदल देता है; उसे न जानना नहीं बदलता। यह विनिमेयता तर्क अगले अध्याय में बिना प्रतिस्थापन प्रतिचयन के लिए लौटता है, जहाँ वह बिना किसी द्विपद सर्वसमिका के अतिज्यामितीय माध्य $np$ दे देता है।

उदाहरण 21.15 (जन्मदिन का टकराव, शृंखला नियम से)

$n$ व्यक्तियों के जन्मदिन, जो स्वतंत्र हैं और $365$ दिनों पर एकसमान, लेकर मान लीजिए $D_n = {}$ “$n$ जन्मदिन सब अलग-अलग हैं” है। व्यक्ति दर व्यक्ति प्रतिबंधन (शृंखला नियम):

जहाँ हर नए व्यक्ति को पहले से लिए गए $k$ दिनों से बचना पड़ता है। $n = 23$ के लिए: $\P(D_{23}) \approx 0.493$ — अर्थात् साझा जन्मदिन पहले ही न होने से अधिक संभावित है। $23$ के छोटेपन को समझाने वाला अंतर्ज्ञान: लघुगणक लेने पर $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$, और $\binom{23}2 = 253$ $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$ दे देता है। जो मायने रखता है वह युग्मों की संख्या है, जो वर्गिक रूप से बढ़ती है: टकराव की समस्याएँ मापक्रम $n \sim \sqrt{365}$ पर जीती हैं, $n \sim 365$ पर नहीं — जन्मदिन का विरोधाभास भेस बदला हुआ वर्गमूल है।