تطبيق مطابق কী?

مثال 18.2 (تحويلات موبيوس)

من أجل $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$، يكون تحويل موبيوس $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ مطابقًا من $\C\setminus\{-d/c\}$ على $\C\setminus\{a/c\}$ (ومقلوبه من النمط نفسه، انطلاقًا من المصفوفة المقلوبة؛ ويوافق التركيبُ جداءَ المصفوفات). وتحويل كايلي

يرسل $\mathbb H$ مطابقةً على $\mathbb D$: إذ يكون $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ بالضبط حين يكون $z$ أقرب إلى $\iu$ منه إلى $-\iu$، أي $\operatorname{Im}z > 0$؛ ومقلوبه $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$. وترسل تحويلات موبيوس عائلةَ الدوائر والمستقيمات إلى نفسها (التمرين 18.1).

مثال 18.3 (تطبيق جوكوفسكي)

وراء موبيوس، يكون أنفع تطبيق مطابق في الرياضيات التطبيقية الكلاسيكية هو

وعلى خارج القرص الواحدي $\Omega = \{\abs z > 1\}$، يكون $J$ متباينًا: إذ يعطي $J(z) = J(w)$ أن $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ مع $\abs{zw} > 1$. ولا تنعدم مشتقته $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ إلا عند $z = \pm1$ على الحافة: ومنه فإن $J$ تكافؤ مطابق من $\Omega$ على صورته، وهي $\C\setminus\intcc{-1}1$ — إذ تُطوى الدائرة الواحدية نفسها اثنين إلى واحد على القطعة ($J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$). ومن ثَمّ فإن خارج قطعة، وهو مستوٍ مشقوق بلا حافة ناعمة، هو مطابقةً خارجُ قرص: فالزوايا ليست عائقًا أمام التكافؤ المطابق، بل أمام نعومة الحافة فحسب. وصور الدوائر المارّة بالنقطتين $\pm1$ لكن غير المتمركزة منحنياتٌ على شكل مقطع جناح، وقد نقل تركيبُ $J$ مع تحويلات موبيوس الجريانَ حول أسطوانة — وهو قابل للحساب يدويًّا — إلى الجريان حول جناح: فكان هذا المثال، في النصف الأول من القرن العشرين، هو علم الديناميكا الهوائية. وهو أيضًا الباب إلى تشيبيشيف: إذ يقارن $J$ بين $z \mapsto z^n$ وكثير حدود تشيبيشيف $T_n$ (المسألة 13.1، الجزء الخامس)، لأن $J(z^n) = \cos(n\theta)$ حين $z = \eu^{\iu\theta}$.