الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

18التطبيقات المطابقة ومبرهنة ريمان في التطبيق

ينقل تقابلٌ هولومورفي بين مجالين كلَّ التحليل العقدي من أحدهما إلى الآخر: فهذه التطبيقات — المطابِقة، لأنها تحفظ الزوايا — هي تماثلات العالم الهولومورفي. ويصنّف هذا الفصل هذه التطبيقات حيث يمكن التصنيف (القرص، والمستوي: ومبرهنة شوارتز المساعدة هي المفتاح، وهي متراجحة مذهلة القوة)، ويبني نظرية التراص للعائلات الهولومورفية (مونتيل)، ويبرهن على أعمق مبرهنات الوجود في هذا الموضوع: أن كل مجال جزئي فعلي بسيط الترابط من $\C$ ، مهما كانت حافته متعرّجة، يكافئ القرصَ الواحدي مطابقةً. ونختم بالدوال التوافقية ونواة بواسون، فنحل مسألة ديريكليه على القرص — وهي العائد التحليلي للهندسة المطابقة. وفي كل ما يلي، $\mathbb D = D(0,1)$ و $\mathbb H = \{\operatorname{Im}z > 0\}$ .

18.1 التطبيقات المطابقة؛ تحويلات موبيوس

تعريف 18.1

التطبيق المطابق (أو التقابل الهولومورفي) بين مجموعتين مفتوحتين هو تقابل هولومورفي؛ ومقلوبه هولومورفي تلقائيًّا (النتيجة 17.10). ويقال إن مجالين متكافئان مطابقةً إذا وُجد تطبيق كهذا؛ ويرمز $\operatorname{Aut}(\Omega)$ إلى زمرة التطبيقات الذاتية المطابقة. وحيث $f' \neq 0$ — أي في كل مكان من أجل $f$ متباينة (ببرهان النتيجة 17.10) — يكون التفاضل هو الضرب في $f'(z) \neq 0$ : أي تشابهٌ، ومنه تحفظ التطبيقات المطابقة الزوايا بين المنحنيات، بما فيها التوجيه.

مثال 18.2 (تحويلات موبيوس)

من أجل $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$ ، يكون تحويل موبيوس $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ مطابقًا من $\C\setminus\{-d/c\}$ على $\C\setminus\{a/c\}$ (ومقلوبه من النمط نفسه، انطلاقًا من المصفوفة المقلوبة؛ ويوافق التركيبُ جداءَ المصفوفات). وتحويل كايلي

\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}

يرسل $\mathbb H$ مطابقةً على $\mathbb D$ : إذ يكون $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ بالضبط حين يكون $z$ أقرب إلى $\iu$ منه إلى $-\iu$ ، أي $\operatorname{Im}z > 0$ ؛ ومقلوبه $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$ . وترسل تحويلات موبيوس عائلةَ الدوائر والمستقيمات إلى نفسها (التمرين 18.1).

مثال 18.3 (تطبيق جوكوفسكي)

وراء موبيوس، يكون أنفع تطبيق مطابق في الرياضيات التطبيقية الكلاسيكية هو

J(z) = \frac12\Bigl(z + \frac1z\Bigr) .

وعلى خارج القرص الواحدي $\Omega = \{\abs z > 1\}$ ، يكون $J$ متباينًا: إذ يعطي $J(z) = J(w)$ أن $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ مع $\abs{zw} > 1$ . ولا تنعدم مشتقته $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ إلا عند $z = \pm1$ على الحافة: ومنه فإن $J$ تكافؤ مطابق من $\Omega$ على صورته، وهي $\C\setminus\intcc{-1}1$ — إذ تُطوى الدائرة الواحدية نفسها اثنين إلى واحد على القطعة ( $J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$ ). ومن ثَمّ فإن خارج قطعة، وهو مستوٍ مشقوق بلا حافة ناعمة، هو مطابقةً خارجُ قرص: فالزوايا ليست عائقًا أمام التكافؤ المطابق، بل أمام نعومة الحافة فحسب. وصور الدوائر المارّة بالنقطتين $\pm1$ لكن غير المتمركزة منحنياتٌ على شكل مقطع جناح، وقد نقل تركيبُ $J$ مع تحويلات موبيوس الجريانَ حول أسطوانة — وهو قابل للحساب يدويًّا — إلى الجريان حول جناح: فكان هذا المثال، في النصف الأول من القرن العشرين، هو علم الديناميكا الهوائية. وهو أيضًا الباب إلى تشيبيشيف: إذ يقارن $J$ بين $z \mapsto z^n$ وكثير حدود تشيبيشيف $T_n$ (المسألة 13.1، الجزء الخامس)، لأن $J(z^n) = \cos(n\theta)$ حين $z = \eu^{\iu\theta}$ .

18.2 مبرهنة شوارتز المساعدة وزمر التشاكلات الذاتية

مبرهنة 18.4 (مبرهنة شوارتز المساعدة)

لتكن $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ هولومورفية مع $f(0) = 0$ . عندئذٍ

\abs{f(z)} \leq \abs z \ \ (z \in \mathbb D) \qquad\text{و}\qquad \abs{f'(0)} \leq 1 ,

وإذا كان $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$ من أجل $z_0 \neq 0$ واحدة، أو كان $\abs{f'(0)} = 1$ ، فإن $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ يكون دورانًا.

برهان. تمتدّ $g(z) = f(z)/z$ هولومورفيًّا إلى $\mathbb D$ (إذ الشذوذ عند $0$ قابل للإزالة: لأن $g$ محدودة بجوار $0$ ، المبرهنة 17.4؛ وقيمتها عند $0$ هي $f'(0)$ ). وعلى $\abs z = r < 1$ : $\abs g \leq \frac1r$ ، ومنه، بمبدأ الأعظمية (المبرهنة 16.14)، $\abs g \leq \frac1r$ على $\bar D(0,r)$ ؛ ونجعل $r \to 1$ : $\abs g \leq 1$ على $\mathbb D$ ، وهما المتراجحتان معًا. والتساوي عند نقطة داخلية يجعل $\abs g$ تبلغ قيمةً عظمى داخلية: فتكون $g$ ثابتة طويلتها $1$ . ∎

مبرهنة 18.5 (التشاكلات الذاتية للقرص)

من أجل $a \in \mathbb D$ ، يكون عامل بلاشكه

\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar a z}

تشاكلًا ذاتيًّا للقرص $\mathbb D$ يبادل بين $a$ و $0$ ، مع $\varphi_a^{-1} = \varphi_{-a}$ . وكل تشاكل ذاتي للقرص $\mathbb D$ هو $\eu^{\iu\theta}\varphi_a$ من أجل $\theta \in \R/2\pi\Z$ و $a \in \mathbb D$ وحيدين.

برهان. على $\abs z = 1$ : $\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z}\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z - \bar a\abs z^2} = \abs{\bar z - \bar a} = \abs{z - a}$ ، ومنه $\abs{\varphi_a} = 1$ هناك؛ وبمبدأ الأعظمية $\varphi_a(\mathbb D) \subseteq \bar{\mathbb D}$ ، ويضع الانفتاح الصورةَ في $\mathbb D$ . وتبيّن المتطابقة الجبرية $\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ (بالحساب المباشر) أنه تقابل. والآن لتكن $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ وليكن $a = f^{-1}(0)$ : فإن $g = f\circ\varphi_{-a}$ تشاكل ذاتي يثبّت $0$ . وبتطبيق شوارتز على $g$ وعلى $g^{-1}$ : $\abs{g(z)} \leq \abs z$ و $\abs{g^{-1}(w)} \leq \abs w$ ، ومنه $\abs{g(z)} = \abs z$ : أي دوران، $g = \eu^{\iu\theta}\,\mathrm{id}$ ، أي $f = \eu^{\iu\theta}\varphi_a$ . وأما الوحدانية: فمن $a = f^{-1}(0)$ ومن $\theta$ بتقييم من نمط $f'$ (أو من $f(0) = -\eu^{\iu\theta}a$ وقيمة أخرى). ∎

مبرهنة 18.6 (التشاكلات الذاتية للمستوي)

$\operatorname{Aut}(\C) = \{z \mapsto az + b : a \in \C^*,\ b \in \C\}$ . ومن ثَمّ فإن $\C$ و $\mathbb D$ غير متكافئين مطابقةً.

برهان. لتكن $f \in \operatorname{Aut}(\C)$ ولننظر في $g(z) = f(1/z)$ على $\C^*$ : وهي دالة هولومورفية لها شذوذ معزول عند $0$ . فلو كان جوهريًّا، لجعلت كازوراتي–فايرشتراس (المبرهنة 17.4) المجموعةَ $g\bigl(D(0,\varepsilon)\setminus\{0\}\bigr)$ كثيفة، بينما $f(D(0, 1))$ مفتوحة ومنفصلة عنها (إذ $f$ متباينة: فالمجموعتان صورتان لمجموعتين منفصلتين) — وهو مستحيل من أجل مجموعة كثيفة ومجموعة مفتوحة غير خالية. ومنه يكون $0$ قطبًا أو قابلًا للإزالة من أجل $g$ ، أي إن $\abs{f(z)}$ ذو نمو حدودي على الأكثر: فتكون $f$ كثير حدود (التمرين 16.4(a)). ويفرض التباين الدرجةَ $1$ : فلكثير حدود من درجة أعلى إما جذرٌ مضاعف للمقدار $f - c$ في موضع ما (إذ تنعدم $f'$ ) وإما عدة صور عكسية متمايزة (دالمبير–غاوس، المسألة 16.1)؛ وفي الحالتين يخفق التباين. وأخيرًا، فتطبيقٌ مطابق $\C \to \mathbb D$ كان سيكون دالةً صحيحة محدودة: أي ثابتة (بليوفيل) — فلا تكافؤ. ∎

18.3 مبرهنة مونتيل

مبرهنة 18.7 (مونتيل)

لتكن $\mathcal F \subseteq \mathcal H(\Omega)$ محدودة محليًّا: أي لكل نقطة جوارٌ يكون عليه $\sup_{f\in \mathcal F}\sup\abs f < \infty$ . عندئذٍ لكل متتالية من $\mathcal F$ متتاليةٌ جزئية تتقارب بانتظام على جميع الأجزاء المتراصة من $\Omega$ (إلى نهاية هولومورفية).

برهان. تساوي الاتصال المحلي: إذا كان $\abs f \leq M$ على $D(a, 2r) \subseteq \Omega$ من أجل كل $f \in \mathcal F$ ، أعطت صيغة كوشي، من أجل $z, z' \in D(a, r)$ ،

\abs{f(z) - f(z')} = \frac{\abs{z - z'}}{2\pi} \Bigl|\int_{C_{2r}}\frac{f(w)\,\dd w}{(w-z)(w-z')}\Bigr| \leq \frac{\abs{z - z'}\,2\pi\cdot2r\,M}{2\pi\,r^2} = \frac{2M}{r}\,\abs{z - z'} :

أي حدًّا ليبشيتزيًّا منتظمًا. ونستنفد $\Omega$ بمتراصات $K_m$ ؛ وتغطّي كلَّ $K_m$ عددٌ منتهٍ من هذه الأقراص، ومنه تكون $\mathcal F$ محدودة بانتظام ومتساوية الاتصال على $K_m$ : فتستخرج أرزيلا–أسكولي (المبرهنة 7.11) متتاليةً جزئية متقاربة بانتظام على $K_m$ ؛ ثم نقطّر على $m$ . والنهاية هولومورفية حسب المبرهنة 16.15. ∎

18.4 مبرهنة ريمان في التطبيق

تعريف 18.8

تكون المجموعة المفتوحة المترابطة $\Omega \subseteq \C$ بسيطة الترابط (بالمعنى الهومولوجي، وهو كافٍ لجميع أغراضنا) إذا كان $\operatorname{Ind}_\gamma(w) = 0$ من أجل كل دورة $\gamma$ في $\Omega$ ومن أجل كل $w \notin \Omega$ — أي «لا تحيط أي دورة من $\Omega$ بثقب». وحسب مبرهنة كوشي الشاملة (المبرهنة 17.1) وحسب القضية 16.5، يكون على $\Omega$ كهذه لكل دالة هولومورفية دالةٌ أصلية؛ ومن ثَمّ لكل $f \in \mathcal H(\Omega)$ عديمة الجذور لوغاريتمٌ هولومورفي ( $\exp\circ$ (الدالة الأصلية للمقدار $f'/f$ )، معدَّلًا بثابت، بحيث $(f\eu^{-L})' = 0$ ) وجذور هولومورفية من الرتبة $n$ هي $\eu^{L/n}$ .

مبرهنة 18.9 (مبرهنة ريمان في التطبيق)

كل مجموعة مفتوحة بسيطة الترابط $\Omega \subsetneq \C$ مع $\Omega \neq \varnothing$ تكافئ $\mathbb D$ مطابقةً؛ وبإعطاء $z_0 \in \Omega$ ، يوجد تطبيق مطابق وحيد $f \colon \Omega \to \mathbb D$ يحقق $f(z_0) = 0$ و $f'(z_0) > 0$ .

برهان. الخطوة 0: العائلة غير خالية. نختار $b \notin \Omega$ : فالمقدار $z - b$ عديم الجذور على $\Omega$ ، ومنه له جذر تربيعي هولومورفي $h$ (حيث $h^2 = z - b$ ). و $h$ متباين (إذ $h(z) = h(z')$ يعطي بالتربيع $z = z'$ )، وإذا كان $w \in h(\Omega)$ فإن $-w \notin h(\Omega)$ (لأن $h(z) = -h(z')$ يعطي أيضًا بالتربيع $z = z'$ ، فيعطي $w = -w = 0$ ، وهو مستحيل لأن $h$ عديم الجذور). وبما أن $h(\Omega)$ مفتوحة، فهي تحتوي قرصًا $D(h(z_0), \rho)$ ؛ عندئذٍ $D(-h(z_0), \rho) \cap h(\Omega) = \varnothing$ ، أي $\abs{h(z) + h(z_0)} \geq \rho$ من أجل كل $z \in \Omega$ . ومنه فإن

g(z) = \frac{\rho}{2\,\bigl(h(z) + h(z_0)\bigr)}

هولومورفية ومتباينة (بوصفها تحويل موبيوس مركَّبًا مع $h$ المتباين)، مع $\abs g \leq \frac12 < 1$ . وبتركيبها مع عامل بلاشكه (المبرهنة 18.5) لنقل $g(z_0)$ إلى $0$ ، تكون العائلة

\mathcal F = \{f \colon \Omega \to \mathbb D \text{ هولومورفية ومتباينة،} f(z_0) = 0\}

غير خالية.

الخطوة 1: عنصر أقصوي. لتكن $s = \sup_{\mathcal F}\abs{f'(z_0)} \in \intoc0{+\infty}$ ( $> 0$ : إذ الأعضاء متباينون، ومنه $f'(z_0) \neq 0$ ). ونأخذ $f_n \in \mathcal F$ تحقق $\abs{f_n'(z_0)} \to s$ : فالعائلة محدودة بالعدد $1$ ، ومنه يستخرج مونتيل (المبرهنة 18.7) متتاليةً $f_n \to f$ بانتظام على المتراصات؛ و $f$ هولومورفية، و $f(z_0) = 0$ ، و $\abs{f'(z_0)} = s$ (المبرهنة 16.15 من أجل المشتقات)، وعلى وجه الخصوص $f$ غير ثابتة؛ و $f$ متباينة بهورفيتز (التمرين 17.8(b))، و $f(\Omega) \subseteq \bar{\mathbb D}$ ، ومنه $\subseteq \mathbb D$ (بالتطبيق المفتوح). ومنه تبلغ $f \in \mathcal F$ السوپريموم: أي $s < \infty$ .

الخطوة 2: التطبيق الأقصوي غامر. لنفترض أن $a \in \mathbb D\setminus f(\Omega)$ . فالنقل ببلاشكه $\varphi_a\circ f$ عديم الجذور على $\Omega$ البسيط الترابط: ومنه له جذر تربيعي هولومورفي $F$ (مع $F(\Omega) \subseteq \mathbb D$ ، إذ $\abs F^2 = \abs{\varphi_a\circ f} < 1$ )، ومتباين (لأن المربّعات تميّز). ونعيِّر: $G = \varphi_{F(z_0)}\circ F \in \mathcal F$ . وبالرجوع: $f = \varphi_{-a}\circ s_2 \circ \varphi_{-F(z_0)}\circ G$ حيث $s_2(w) = w^2$ ؛ والتطبيق $\Psi = \varphi_{-a}\circ s_2\circ\varphi_{-F(z_0)} \colon \mathbb D \to \mathbb D$ هولومورفي مع $\Psi(0) = f(z_0) = 0$ وليس دورانًا (إذ ليس متباينًا: لأن $s_2$ ليست كذلك). وبمبرهنة شوارتز المساعدة (الحالة الأكيدة): $\abs{\Psi'(0)} < 1$ ، وتعطي قاعدة السلسلة $f = \Psi\circ G$ أن $\abs{f'(z_0)} = \abs{\Psi'(0)}\,\abs{G'(z_0)} < \abs{G'(z_0)}$ — وهو يناقض الأقصوية (ولاحظ $G \in \mathcal F$ ). ومنه تكون $f$ غامرة: أي تكافؤًا مطابقًا.

الخطوة 3: التعيير والوحدانية. نضرب $f$ في $\eu^{-\iu\arg f'(z_0)}$ لنجعل $f'(z_0) > 0$ (وهذا يبقى في $\mathcal F$ ). فإذا صلحت $f_1, f_2$ كلتاهما، ثبّت $\psi = f_2\circ f_1^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ النقطةَ $0$ مع $\psi'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$ ؛ وحسب المبرهنة 18.5 يكون $\psi$ دورانًا $\eu^{\iu\theta}$ مع $\eu^{\iu\theta} > 0$ : أي $\psi = \mathrm{id}$ . ∎

ملاحظة 18.10

المبرهنة عبارةُ وجود محضة ذات نطاق مذهل: فمربّع، ونصف مستوٍ، ومتممة شقّ، والمنطقة بين دائرتين متماستين، ومجال ذو حافة كسيرية — كلها مطابقةً مطابقةٌ للقرص $\mathbb D$ . وأما ما لا تعطيه: فأي صيغة (إذ التطبيقات الصريحة هي الاستثناء: التمرين 18.5)، ولا السلوك على الحافة (وتتكفّل به نظرية أعمق — مبرهنة كاراتيودوري)، ولا وحدانية التمديد إلى $\C$ ولا المجالات متعددة الترابط: فالتاج $\{1 < \abs z < 2\}$ ليس مطابقةً قرصًا مثقوبًا، والتيجان ذات نسب أنصاف أقطار مختلفة غير متكافئة (وهي حقيقة أصعب فعلًا).

18.5 الدوال التوافقية ونواة بواسون

قضية 18.11

لتكن $\Omega$ بسيطة الترابط ولتكن $u \colon \Omega \to \R$ توافقية (أي من الصنف $\mathcal C^2$ مع $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$ ). عندئذٍ $u = \operatorname{Re}F$ من أجل $F$ هولومورفية، وحيدة إلى غاية ثابت تخيّلي. ومن ثَمّ تكون $u$ من الصنف $\mathcal C^\infty$ ، وتحقق خاصية القيمة المتوسطة، وتخضع لمبدأ الأعظمية (فلا قيمة قصوى داخلية أكيدة إلا إذا كانت ثابتة).

برهان. تحقق $g = u_x - \iu u_y$ معادلتَي كوشي–ريمان ( $P = u_x$ و $Q = -u_y$ : $P_x = u_{xx} = -u_{yy} = Q_y$ و $P_y = u_{xy} = u_{yx} = -Q_x$ ) بمشتقات جزئية متصلة: ومنه تكون $g$ هولومورفية (القضية 16.2؛ وتنتج القابلية للاشتقاق بالمعنى $\R$ من $\mathcal C^1$ ). وليكن $F_0$ دالةً أصلية (ببساطة الترابط، التعريف 18.8)؛ عندئذٍ يكون للمقدار $\operatorname{Re}F_0$ التدرّج $(u_x, u_y)$ (إذ يُفكّ $F_0' = g$ إلى ذلك بالضبط عبر كوشي–ريمان من أجل $F_0$ )، ومنه يكون $u - \operatorname{Re}F_0$ ثابتًا ( $\Omega$ مترابطة): فنضبط $F = F_0 + c$ . وتنتقل الخصائص من المبرهنة 16.14 ومن التمرين 16.10 (ومن أجل مبدأ الأعظمية مطبَّقًا على $u$ نفسها، استعمل $\eu^{F}$ كما هناك). ∎

مبرهنة 18.12 (صيغة بواسون؛ مسألة ديريكليه على القرص)

من أجل $0 \leq r < 1$ نعرّف نواة بواسون

P_r(\theta) = \sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \;>\; 0 .

ولتكن $g \colon \partial\mathbb D \to \R$ متصلة، ونضع، من أجل $z = r\eu^{\iu\varphi} \in \mathbb D$ ،

u(z) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} P_r(\varphi - t)\,g(\eu^{\iu t})\,\dd t .

عندئذٍ تكون $u$ توافقية على $\mathbb D$ وتمتدّ اتصاليًّا إلى $\bar{\mathbb D}$ بقيم حدّية $g$ : وهي الدالة التوافقية الوحيدة كذلك.

برهان. متطابقات النواة: بجمع متسلسلتين هندسيتين،

\sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \operatorname{Re}\frac{1 + r\eu^{\iu\theta}}{1 - r\eu^{\iu\theta}} = \frac{1 - r^2}{\abs{1 - r\eu^{\iu\theta}}^2},

وهو خارج القسمة المعروض؛ والإيجابية واضحة، و $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r = 1$ (إذ لا ينجو سوى $n = 0$ ).

التوافقية: مع $z = r\eu^{\iu\varphi}$ ،

u(z) = \operatorname{Re}\biggl[\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\eu^{\iu t} + z}{\eu^{\iu t} - z}\, g(\eu^{\iu t})\,\dd t\biggr],

(وللنواة بين القوسين الجزءُ الحقيقي $P_r(\varphi - t)$ : بالحساب)، والمقدار بين القوسين هولومورفي في $z$ على $\mathbb D$ (التمرين 16.7): ومنه تكون $u$ الجزءَ الحقيقي لدالة هولومورفية، أي توافقية.

القيم الحدّية: تكون $P_r(\cdot)$ وحدةً تقريبية حين $r \to 1^-$ : بكتلة $1$ ، ومن أجل $\delta \leq \abs\theta \leq \pi$ ، $P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ بانتظام. ويعطي الشطر المعياري (باتصال $g$ بجوار $\eu^{\iu\varphi_0}$ ، وبالحدّ في غيرها) أن $u(r\eu^{\iu\varphi}) \to g(\eu^{\iu\varphi_0})$ حين $r\eu^{\iu\varphi} \to \eu^{\iu\varphi_0}$ ، بانتظام في النقطة الحدّية: فيكون التمديد متصلًا. والوحدانية: فرق حلّين توافقي على $\mathbb D$ ومتصل على الغلق ومعدوم على الحافة: ومنه ينعدم بمبدأ الأعظمية (مطبَّقًا على $\pm$ الفرق). ∎

المنحنيات المستوية للمقدار Rez2 = x2 - y2 (القطوع الزائدة الحمراء) وللمقدار Imz2 = 2xy (القطوع الزائدة الزرقاء) تتقاطع بزوايا قائمة بعيدًا عن 0: فتطبيقٌ مطابق (z z2، حيث z ≠ 0) يحفظ تعامد خطوط الإحداثيات. وعند z = 0، حيث تنعدم المشتقة، تتضاعف الزوايا بدل ذلك. — المنحنيات المستوية للمقدار $\operatorname{Re}z^2 = x^2 - y^2$ (القطوع الزائدة الحمراء) وللمقدار $\operatorname{Im}z^2 = 2xy$ (القطوع الزائدة الزرقاء) تتقاطع بزوايا قائمة بعيدًا عن $0$ : فتطبيقٌ مطابق ( $z \mapsto z^2$ ، حيث $z \neq 0$ ) يحفظ تعامد خطوط الإحداثيات. وعند $z = 0$ ، حيث تنعدم المشتقة، تتضاعف الزوايا بدل ذلك.

18.6 تمارين

تمرين 18.1 ★

(a) تحقق من أن تحويل كايلي $\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}$ تقابلٌ $\mathbb H \to \mathbb D$ بالمقلوب المذكور، واحسب صور $\iu$ و $0$ و $1$ و $\infty$ (بالنهاية). (b) برهن على أن $z \mapsto 1/z$ يرسل الدوائر والمستقيمات إلى دوائر ومستقيمات. (اكتب معادلتها المشتركة $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ ، $\alpha, \gamma \in \R$ .) واستنتج الشيء نفسه من أجل جميع تحويلات موبيوس.

حل

حل التمرين 18.1.

(a) يتركّب $\varphi$ و $\psi(w) = \iu\frac{1+w}{1-w}$ ليعطيا المطابقة بالترتيبين (بالحساب المباشر)؛ ويرسل $\varphi$ الفضاء $\mathbb H$ في $\mathbb D$ ويرجع $\psi$ (المثال 18.2). والقيم: $\varphi(\iu) = 0$ ، و $\varphi(0) = -1$ ، و $\varphi(1) = \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu$ ، و $\varphi(z) \to 1$ حين $z \to \infty$ .

(b) الدوائر والمستقيمات هي مجموعات حلول $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ (حيث $\alpha, \gamma \in \R$ و $\beta \in \C$ و $\abs\beta^2 > \alpha\gamma$ ): فإن $\alpha \neq 0$ تعطي دوائر و $\alpha = 0$ تعطي مستقيمات. وبتعويض $z = 1/w$ والضرب في $\abs w^2$ : $\gamma\abs w^2 + \beta w + \bar\beta\bar w + \alpha = 0$ — أي العائلة نفسها. والتطبيقات التآلفية تحفظ العائلة بوضوح، وكل تحويل موبيوس تركيبٌ لتطبيقات تآلفية وقلبٍ واحد ( $\frac{az+b}{cz+d} = \frac ac + \frac{bc - ad}{c}\cdot\frac1{cz + d}$ من أجل $c \neq 0$ ).

تمرين 18.2 ★

لتكن $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ هولومورفية. (a) إذا كان $f(0) = 0$ و $f(a) = a$ من أجل $a \neq 0$ ما، برهن على $f = \mathrm{id}$ . (b) وإذا كانت $f$ تشاكلًا ذاتيًّا له نقطتان صامدتان متمايزتان في $\mathbb D$ ، برهن على $f = \mathrm{id}$ (بالاقتران بعامل بلاشكه للإرجاع إلى (a)).

حل

حل التمرين 18.2.

(a) تعطي شوارتز $\abs{f(a)} \leq \abs a$ مع التساوي (إذ الطرفان $= \abs a$ ): فتفرض حالة التساوي أن $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ ، ويثبّت $f(a) = a$ المقدارَ $\eu^{\iu\theta} = 1$ .

(b) ليكن $a \neq b$ نقطتين صامدتين ولتكن $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_{-a} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — باستعمال المبرهنة 18.5 من أجل $\varphi_{\pm a}$ . عندئذٍ $g(0) = \varphi_a(f(a)) = 0$ و $g(c) = c$ من أجل $c = \varphi_a(b) \neq 0$ : فحسب (a)، $g = \mathrm{id}$ ، ومنه $f = \varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ .

تمرين 18.3 ★★

(شوارتز–بيك) من أجل $f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ هولومورفية، برهن على

\frac{\abs{f'(z)}}{1 - \abs{f(z)}^2} \;\leq\; \frac{1}{1 - \abs z^2} \qquad (z \in \mathbb D),

مع التساوي (عند نقطة واحدة، ومن ثَمّ في كل مكان) إذا وفقط إذا كان $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ . (بتطبيق شوارتز على $\varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ .) والتفسير: أن التطبيقات الذاتية الهولومورفية تقلّص المتري الزائدي.

حل

حل التمرين 18.3.

نثبّت $z$ ونضع $g = \varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ : فهي هولومورفية $\mathbb D \to \mathbb D$ مع $g(0) = 0$ ، ومنه $\abs{g'(0)} \leq 1$ (بشوارتز). وبقاعدة السلسلة مع $\varphi_a'(\zeta) = \frac{1 - \abs a^2}{(1 - \bar a\zeta)^2}$ :

g'(0) = \varphi_{f(z)}'\bigl(f(z)\bigr)\cdot f'(z)\cdot \varphi_{-z}'(0) = \frac{1}{1 - \abs{f(z)}^2}\cdot f'(z)\cdot(1 - \abs z^2),

ومن هنا متراجحة شوارتز–بيك. والتساوي عند $z$ ما يجعل $g$ دورانًا، ومنه $f = \varphi_{-f(z)}\circ(\text{دوران})\circ\varphi_z \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — وعندئذٍ يقع التساوي في كل مكان (بالحساب، أو بإعادة التطبيق مع تبادل دورَي $f, f^{-1}$ ). فالتطبيقات الذاتية الهولومورفية للقرص ليبشيتزية بالثابت $1$ بالنسبة إلى المتري الزائدي $\frac{2\abs{\dd z}}{1 - \abs z^2}$ ؛ والتشاكلات الذاتية هي تقايساته.

تمرين 18.4 ★★

جد تكافؤات مطابقة صريحة: (a) الشريط $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\} \to \mathbb H$ ؛ (b) الربع $\{\operatorname{Re}z > 0, \operatorname{Im}z > 0\} \to \mathbb H$ ؛ (c) نصف القرص $\mathbb D\cap\mathbb H \to$ ربعًا، ثم $\to \mathbb H$ ؛ (d) $\mathbb D \to \mathbb D$ يرسل $\frac12$ إلى $0$ بمشتقة موجبة هناك.

حل

حل التمرين 18.4.

(a) $z \mapsto \eu^z$ : يرسل $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\}$ تقابليًّا على $\mathbb H$ (إذ $\eu^{x+\iu y} = \eu^x\eu^{\iu y}$ : الطويلة حرة، والعمدة $y \in \intoo0\pi$ )، وهو هولومورفي بمشتقة غير منعدمة ومقلوب هولومورفي (باللوغاريتم $\log$ الرئيسي). (b) يضاعف $z \mapsto z^2$ العُمَد: فيرسل الربع المفتوح $\{0 < \arg z < \frac\pi2\}$ مطابقةً على $\mathbb H$ (والمقلوب: الجذر التربيعي الرئيسي). (c) يرسل $z \mapsto \frac{1 + z}{1 - z}$ القرصَ $\mathbb D$ على نصف المستوي الأيمن ويحفظ التماثل بين الأعلى والأسفل: فيرسل نصف القرص العلوي على الربع الأول؛ ثم نربّع، حسب (b)، لنبلغ $\mathbb H$ : $z \mapsto \bigl(\frac{1 + z}{1 - z}\bigr)^2$ . (d) عامل بلاشكه $\varphi_{1/2}(z) = \frac{z - \frac12}{1 - \frac z2}$ : $\varphi_{1/2}(\tfrac12) = 0$ و $\varphi_{1/2}'(\tfrac12) = \frac{1 - \frac14}{(1 - \frac14)^2} = \frac43 > 0$ .

تمرين 18.5 ★★

(a) برهن على أنه لا يوجد أي تطبيق مطابق $\C \to \mathbb D$ ولا $\C \to \mathbb H$ ، ولا $\mathbb D \to \C$ . (b) وأيٌّ مما يلي يكافئ $\mathbb D$ مطابقةً؟ برّر عبر المبرهنة 18.9 أو بعائق: مربّع؛ و $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ؛ و $\mathbb D\setminus\{0\}$ ؛ و $\{1 < \abs z < 2\}$ . (من أجل الأخيرين: صورةٌ مطابقة للقرص المثقوب كانت ستمتدّ عبر الثقب حسب المبرهنة 17.4(1) — فصّل ذلك.)

حل

حل التمرين 18.5.

(a) تطبيقٌ مطابق $\C \to \mathbb D$ (أو من $\mathbb H$ ، بعد التركيب مع كايلي) يكون دالةً صحيحة محدودة: أي ثابتة بليوفيل — فليس تقابلًا. وتطبيقٌ مطابق $\mathbb D \to \C$ كان سيكون له مقلوب مطابق $\C \to \mathbb D$ : أي التناقض نفسه.

(b) المربّع محدّب، ومنه بسيط الترابط، وفعلي: فهو مطابقةً $\mathbb D$ (المبرهنة 18.9). والمستوي المشقوق $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ نجمي الشكل بالنسبة إلى $1$ (إذ تتفادى القطع المنطلقة من $1$ الشقَّ)، ومنه بسيط الترابط، وفعلي: فهو مطابقةً $\mathbb D$ . وأما القرص المثقوب: فلو كان $g \colon \mathbb D\setminus\{0\} \to \mathbb D$ مطابقًا، لكان $g$ محدودًا، ومنه يكون $0$ قابلًا للإزالة (المبرهنة 17.4): فيمتدّ $g$ إلى $\tilde g \colon \mathbb D \to \mathbb D$ ، ويكون $\tilde g(0)$ ، بوصفه في الصورة المفتوحة $g(\mathbb D\setminus\{0\}) = \mathbb D$ ، مساويًا أيضًا $g(w)$ من أجل $w \neq 0$ ما؛ ولجوارين منفصلين للنقطتين $0$ و $w$ صورتان مفتوحتان تتقاسمان القيمة $\tilde g(0)$ ، ومنه تتقاسمان قيمًا أخرى أيضًا (لأنهما مفتوحتان): فيأخذ $g$ قيمةً ما مرتين على $\mathbb D\setminus\{0\}$ — وهو يناقض التباين. وأما التاج $A = \{1 < \abs z < 2\}$ : فلنفترض أن $F \colon \mathbb D \to A$ مطابق. فإن $F$ عديم الجذور على $\mathbb D$ البسيط الترابط، ومنه $F = \eu^L$ من أجل $L$ هولومورفية (التعريف 18.8). ولتكن $\sigma$ الدائرةَ $\abs z = \frac32$ في $A$ ولتكن $\gamma = F^{-1}\circ\sigma$ ، وهو مسار مغلق في $\mathbb D$ ؛ عندئذٍ

1 = \operatorname{Ind}_\sigma(0) = \frac1{2\iu\pi}\int_{F\circ\gamma}\frac{\dd w}{w} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{F'}{F} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma L' = 0

(لأن للمقدار $L'$ دالةً أصلية): وهو تناقض. فلا القرص المثقوب ولا التاج قرصٌ متنكّر.

تمرين 18.6 ★★

لتكن $\mathcal F = \{f \in \mathcal H(\mathbb D) : f(0) = 1,\ \operatorname{Re}f > 0\}$ . (a) برهن على أن $\mathcal F$ محدودة محليًّا. (بالتركيب مع التطبيق من نمط كايلي $w \mapsto \frac{w - 1}{w + 1}$ الذي يرسل نصف المستوي الأيمن إلى $\mathbb D$ ، ثم بتطبيق شوارتز.) (b) استنتج حدّ هرغلوتس: $\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z}$ من أجل $f \in \mathcal F$ ، مع إمكانات التساوي.

حل

حل التمرين 18.6.

(a) يرسل $T(w) = \frac{w - 1}{w + 1}$ المجموعةَ $\{\operatorname{Re}w > 0\}$ مطابقةً على $\mathbb D$ (أي كايلي مدارًا: إذ $\abs{w - 1} < \abs{w + 1}$ إذا وفقط إذا كان $\operatorname{Re}w > 0$ )، مع $T(1) = 0$ . ومن أجل $f \in \mathcal F$ ، تكون $g = T\circ f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ هولومورفية مع $g(0) = 0$ : فتعطي شوارتز $\abs{g(z)} \leq \abs z$ .

(b) وبقلب $T$ : $f = \frac{1 + g}{1 - g}$ ، ومنه

\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs{g(z)}}{1 - \abs{g(z)}} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z} :

وهو محدود محليًّا (بانتظام على $\abs z \leq r < 1$ ). والتساوي عند $z_0 \neq 0$ يفرض $\abs{g(z_0)} = \abs{z_0}$ والاصطفاف: أي إن $g$ دوران، أي $f(z) = \frac{1 + \eu^{\iu\theta}z}{1 - \eu^{\iu\theta}z}$ — وهي أقصويات هرغلوتس، أي التطبيقات المطابقة على نصف المستوي الأيمن.

تمرين 18.7 ★★★

أين يستعمل برهان المبرهنة 18.9 كلَّ فرضية؟ تتبّع: (أ) بساطة الترابط (مرتين)؛ (ب) $\Omega \neq \C$ ؛ (ج) الترابط. ثم برهن على أن المبرهنة تخفق من أجل $\Omega = \C$ ومن أجل التاج، معيّنًا أي خطوة من البرهان تنكسر في كل حالة.

حل

حل التمرين 18.7.

(أ) تدخل بساطة الترابط مرتين بالضبط، عبر وجود الجذور التربيعية الهولومورفية للدوال العديمة الجذور (التعريف 18.8): في الخطوة 0 (جذر $z - b$ ) وفي الخطوة 2 (جذر $\varphi_a\circ f$ ). (ب) ويوفّر $\Omega \neq \C$ النقطةَ $b$ في الخطوة 0 — فبدونها تخلو العائلة $\mathcal F$ من التطبيقات المتباينة المحدودة (بليوفيل). (ج) ويُستعمل الترابط كلما تكلمت مبرهنة التطابق أو هورفيتز (التمرين 17.8): إذ تكون النهاية الأقصوية «متباينة أو ثابتة»، ويستبعد $s > 0$ الثباتَ؛ وكذلك في «المشتقة المعدومة تستلزم الثبات». وأما الإخفاق من أجل $\C$ : فالخطوة 0 مستحيلة، والنتيجة خاطئة (التمرين 18.5(a)). وأما الإخفاق من أجل التاج: فهو ليس بسيط الترابط — فينكسر بناء الجذر التربيعي (مثلًا $z$ نفسه، وهو عديم الجذور على $A$ ، ليس له جذر تربيعي هولومورفي: بحساب الدليل نفسه كما في التمرين 18.5(b) مع $\frac12\int_\sigma\frac{\dd z}z \notin 2\iu\pi\Z$ ) — والنتيجة خاطئة أيضًا.

تمرين 18.8 ★★

حُلّ مسألة ديريكليه على $\mathbb D$ من أجل المعطيات الحدّية: (a) $g(\eu^{\iu t}) = \cos t$ ؛ (b) $g(\eu^{\iu t}) = \cos^2 t$ ؛ (c) $g = \mathbf 1_{\text{نصف الدائرة العلوي}}$ — ومن أجل (c) احسب $u(0)$ وفسّره بخاصية القيمة المتوسطة. (انشر $g$ في متسلسلة فورييه واستعمل متسلسلة $P_r$ : $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_n c_n(g) r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ .)

حل

حل التمرين 18.8.

بتعويض نشر فورييه للدالة $g$ في تكامل بواسون وباستعمال $\frac1{2\pi}\int P_r(\varphi - t)\eu^{\iu nt}\dd t = r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ (بقراءة متسلسلة $P_r$ ): $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_nc_n(g)\,r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ ، والتبديل مبرَّر بالتقارب الناظمي ( $\abs{c_n} \leq \norm g_\infty$ ، حيث $r < 1$ ).

(a) $g = \cos t$ : $c_{\pm1} = \frac12$ ، ومنه $u = r\cos\varphi = \operatorname{Re}z = x$ — وهي فعلًا توافقية بالقيم الحدّية الصحيحة.

(b) $\cos^2t = \frac12 + \frac{\cos 2t}2$ : $u = \frac12 + \frac{r^2\cos2\varphi}2 = \frac12 + \frac{\operatorname{Re}(z^2)}2 = \frac12 + \frac{x^2 - y^2}{2}$ .

(c) $g = \mathbf 1_{(0,\pi)}$ (نصف الدائرة العلوي): $c_0 = \frac12$ و $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2\iu\pi n}$ من أجل $n \neq 0$ ، ومنه

u(r\eu^{\iu\varphi}) = \frac12 + \frac2\pi\sum_{k\geq0} \frac{r^{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\varphi\bigr)}{2k + 1}, \qquad u(0) = \frac12 :

فيرى المركز بالضبط متوسط المعطيات الحدّية — أي خاصية القيمة المتوسطة بشخصها.

تمرين 18.9 ★★★

(هارناك) لتكن $u \geq 0$ توافقية على $\mathbb D$ . برهن، من أجل $\abs z = r < 1$ ، على

\frac{1 - r}{1 + r}\,u(0) \;\leq\; u(z) \;\leq\; \frac{1 + r}{1 - r}\,u(0)

(بحدّ نواة بواسون بين $\frac{1-r}{1+r}$ و $\frac{1+r}{1-r}$ ؛ وبتطبيق التمثيل على أقراص أصغر قليلًا والمرور إلى النهاية). واستنتج: أن دالةً توافقية على $\C$ محدودة من الأسفل تكون ثابتة.

حل

حل التمرين 18.9.

من $(1-r)^2 \leq 1 - 2r\cos\theta + r^2 \leq (1+r)^2$ :

\frac{1-r}{1+r} = \frac{1 - r^2}{(1+r)^2} \leq P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{(1 - r)^2} = \frac{1+r}{1-r} .

ومن أجل $u \geq 0$ توافقية على $\mathbb D$ ومن أجل $s < 1$ : تكون $u_s(z) = u(sz)$ توافقية على جوار للمجموعة $\bar{\mathbb D}$ ، ومنه تساوي تكامل بواسون لها (المبرهنة 18.12، بالوحدانية، مطبَّقة على قيمها الحدّية)؛ وبحصر النواة وباستعمال القيمة المتوسطة $\frac1{2\pi}\int u_s(\eu^{\iu t})\dd t = u(0)$ :

\frac{1-r}{1+r}\,u(0) \leq u(s\,r\eu^{\iu\varphi}) \leq \frac{1+r}{1-r}\,u(0).

ونجعل $s \to 1^-$ عند $r\eu^{\iu\varphi}$ مثبَّتة (باتصال $u$ ): فنجد متراجحتَي هارناك. وإذا كانت $u$ توافقية على $\C$ مع $u \geq m$ : طبّقنا هارناك على $u - m$ على الأقراص $D(0, R)$ ، أي على $z \mapsto u(Rz) - m$ : فمن أجل $z$ مثبَّتة و $r = \abs z/R \to 0$ ، يؤول الحدّان إلى $u(0) - m$ : أي $u(z) = u(0)$ — فهي ثابتة (أي ليوفيل ذو طرفين انطلاقًا من حدّ من جانب واحد).

تمرين 18.10 ★★

باستعمال صمود التوافقية بالتطبيقات المطابقة (إذ تكون $u\circ f$ توافقية حين تكون $u$ توافقية و $f$ هولومورفية — برهن على ذلك عبر القضية 18.11 محليًّا)، حُلّ مسألة ديريكليه على نصف المستوي العلوي بالمعطيات الحدّية $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ : برهن على أن

u(x + \iu y) = \frac1\pi\,\arg(x + \iu y) \qquad (\arg \in \intoo0\pi \text{ على} \mathbb H)

توافقية على $\mathbb H$ (بوصفها الجزء التخيّلي للوغاريتم هولومورفي) بالنهايات الحدّية المطلوبة عند كل $x \neq 0$ ، وانقلها إلى القرص بكايلي لتستنبط التمرين 18.8(c) من جديد.

حل

حل التمرين 18.10.

محليًّا، $u = \operatorname{Re}F$ مع $F$ هولومورفية (القضية 18.11)، ومنه تكون $u\circ f = \operatorname{Re}(F\circ f)$ توافقية حيثما عُرِّفت: فالتوافقية صامدة بالتطبيقات المطابقة. وعلى $\mathbb H$ : يعطي اللوغاريتم الرئيسي أن $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ هولومورفي على $\mathbb H$ ، ومنه تكون $u = \frac1\pi\arg z = \operatorname{Im}\bigl(\frac1\pi\log z\bigr)$ توافقية، بنهايات حدّية: فمن أجل $x > 0$ ، $\arg \to 0$ و $u \to 0$ ؛ ومن أجل $x < 0$ ، $\arg \to \pi$ و $u \to 1$ : أي المعطيات $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ عند كل $x \neq 0$ . وبنقلها بتحويل كايلي (الذي يرسل $\mathbb D \to \mathbb H$ بعد القلب ويطابق نصف الدائرة العلوي مع المحور السالب، إلى غاية الدوران المعيَّن بتتبّع ثلاث نقاط حدّية)، تحل $u\circ(\text{كايلي})$ مسألةَ القرص في التمرين 18.8(c)؛ وبالتقييم عند المركز نستعيد $u = \frac12$ هناك، ويمكن فحص الصيغة المغلقة $\frac1\pi\arg$ مقابل المتسلسلة بجمع متطابقات من نمط $\sum\frac{r^{2k+1}\sin((2k+1)\varphi)}{2k+1} = \frac12\arctan\frac{2r\sin\varphi}{1 - r^2}$ — أي الطريق الابتدائي إلى الجواب نفسه.

تمرين 18.11 ★★

(النقاط الصامدة والتكرار في القرص) لتكن $f\colon\mathbb D \to \mathbb D$ هولومورفية. (a) برهن على أنه إذا كانت للدالة $f$ نقطتان صامدتان متمايزتان، فإن $f = \mathrm{id}$ (بنقل إحداهما إلى $0$ بتشاكل ذاتي وبتطبيق حالة التساوي في شوارتز). (b) لنفترض أن $f(0) = 0$ وأن $f$ ليست دورانًا. برهن على أن المكرَّرات $f^{\circ n} \to 0$ بانتظام على كل متراصة $\bar D(0, r)$ حيث $r < 1$ (إذ تعطي شوارتز أن $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ على $\bar D(0,r)$ مع $c_r < 1$ — وبرّر هذا الثابت الأكيد بمبدأ الأعظمية مطبَّقًا على $f(z)/z$ ). (c) وضّح ذلك على $f(z) = \frac{z^2 + z}2$ : النقاط الصامدة، وسرعة تقارب مدار $z_0 = \frac12$ .

حل

حل التمرين 18.11.

(a) ليكن $a \neq b$ صامدتين. وبالاقتران بالتشاكل $\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar az}$ (وهو تشاكل ذاتي يبادل بين $a$ و $0$ )، يثبّت $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_a^{-1}$ النقطةَ $0$ والنقطةَ $c = \varphi_a(b) \neq 0$ . وبشوارتز: $\abs{g(z)} \leq \abs z$ ، وعند $z = c$ يقع التساوي ( $g(c) = c$ ): فتفرض حالة التساوي أن $g(z) = \lambda z$ مع $\abs\lambda = 1$ ، ويعطي $\lambda c = c$ أن $\lambda = 1$ : ومنه $g = \mathrm{id}$ ، ومن ثَمّ $f = \mathrm{id}$ .

(b) الدالة $h(z) = f(z)/z$ (بشذوذ قابل للإزالة عند $0$ ) هولومورفية على $\mathbb D$ مع $\abs h \leq 1$ (بشوارتز)؛ ويكون $\abs h < 1$ في كل مكان، وإلا لجعل مبدأ الأعظمية (بقيمة عظمى داخلية للمقدار $\abs h$ ) الدالةَ $h$ ثابتًا أحادي الطويلة، أي $f$ دورانًا — وهو مستبعد. وعلى المتراصة $\bar D(0,r)$ ، $c_r = \max\abs h < 1$ ، ومنه $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ هناك؛ وفوق ذلك يرسل $f$ المجموعةَ $\bar D(0,r)$ في نفسها ( $c_r\abs z \leq r$ )، ومنه يتكرر الحدّ: أي $\abs{f^{\circ n}(z)} \leq c_r^n\,r \to 0$ بانتظام على $\bar D(0, r)$ .

(c) النقاط الصامدة للتطبيق $\frac{z^2 + z}2$ : $z^2 + z = 2z$ إذا وفقط إذا كان $z(z - 1) = 0$ ؛ ولا تقع في $\mathbb D$ سوى $z = 0$ (إذ $z = 1$ على الحافة). وهو ليس دورانًا ( $f'(0) = \frac12$ )، ومنه تؤول المدارات إلى $0$ ؛ وكمّيًّا يعطي $f(z) = \frac z2(1 + z)$ أن $\abs{f(z)} \leq \frac{3}{4}\abs z$ على $\abs z \leq \frac12$ ، وحالما يصغر المدار، $\abs{f(z)} \approx \frac{\abs z}2$ : أي هندسي مقاربًا بالنسبة $f'(0) = \frac12$ . ومن $z_0 = \frac12$ : $z_1 = \frac38$ ، $z_2 \approx 0.258$ ، $z_3 \approx 0.162$ — أي تنصيفٌ في كل خطوة، كما يتنبّأ المضاعِف.

تمرين 18.12 ★★

(المرافقات التوافقية، عمليًّا) لتكن $u(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y$ . (a) تحقق من أن $u$ توافقية على $\R^2$ ، وجد جميع مرافقاتها التوافقية $v$ (أي بحيث يكون $u + \iu v$ هولومورفيًّا) بمكاملة معادلتَي كوشي–ريمان؛ وعيّن $f(z) = u + \iu v$ بوصفه كثير حدود في $z$ . (b) برهن على أنه على مجموعة مفتوحة نجمية الشكل، تقبل كل دالة توافقية مرافقةً توافقية، وحيدةً إلى غاية ثابت جمعي (إذ الصيغة التفاضلية من الرتبة $1$ $-u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ مغلقة؛ وبآلة الدوال الأصلية في المبرهنة 16.8، أو بالمبرهنة المساعدة لپوانكاريه في الفصل 21). (c) أعطِ المثال المضاد المعياري على $\C^*$ : أن $u = \ln\abs z$ ليست لها مرافقة شاملة — واربط ذلك بالصيغة الزاوية وبعدد اللف (الفصل 21).

حل

حل التمرين 18.12.

(a) $\Delta u = 6x - 6x + 0 = 0$ . وتطلب كوشي–ريمان أن $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ و $v_x = -u_y = 6xy - 2$ . وبمكاملة الأولى في $y$ : $v = 3x^2y - y^3 + c(x)$ ؛ وبإدخال ذلك في الثانية: $6xy + c'(x) = 6xy - 2$ ، ومنه $c(x) = -2x + C$ . ومن ثَمّ $v = 3x^2y - y^3 - 2x + C$ و

f = u + \iu v = (x^3 - 3xy^2) + \iu(3x^2y - y^3) + 2y - 2\iu x + \iu C = z^3 - 2\iu z + \iu C .

(b) الصيغة $\omega = -u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ مغلقة بالضبط لأن $\Delta u = 0$ ( $\partial_y(-u_y) = -u_{yy} = u_{xx} = \partial_x(u_x)$ ). وعلى مجموعة مفتوحة نجمية الشكل توفّر المبرهنة المساعدة لپوانكاريه (المبرهنة 21.15؛ أو بناء الدالة الأصلية في المبرهنة 16.8 مطبَّقًا على الدالة الهولومورفية $u_x - \iu u_y$ ) دالةً $v$ تحقق $\dd v = \omega$ ، أي جملة كوشي–ريمان: فيكون $u + \iu v$ هولومورفيًّا. ومرافقتان تختلفان بدالة تدرّجها معدوم: أي بثابت (بالترابط).

(c) ومن أجل $u = \ln\abs z$ على $\C^*$ : $\omega = -u_y\dd x + u_x\dd y = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2} = \omega_\theta$ ، أي الصيغة الزاوية (المثال 21.14)، وتكاملها على امتداد الدائرة الواحدية $2\pi \neq 0$ : فهي ليست تامة، ومنه لا توجد أي مرافقة شاملة — إذ كانت المرافقة ستكون تعيينًا متصلًا للعمدة، وعدد اللف هو العائق بالضبط. ومحليًّا (على أي مجال جزئي نجمي الشكل)، تصلح $v = \arg z$ ويكون $u + \iu v = \log z$ : فالإخفاق شامل لا محلي.

18.7 مسألة: مبرهنة المساحة ومبرهنة كوبه للربع

مسألة 18.1

مسألة نهاية الأسبوع — كم يجب أن يغطي تطبيق أحادي التكافؤ؟

الدالة أحادية التكافؤ هي غمرٌ هولومورفي. والدوال الأحادية التكافؤ المعيَّرة على القرص،

\mathcal S = \bigl\{f \in \mathcal H(\mathbb D) \text{ متباينة},\ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots\bigr\},

مقيَّدة تقييدًا صارمًا: فنبرهن على متراجحة بيبرباخ $\abs{a_2} \leq 2$ ونستنتج مبرهنة كوبه للربع: أن صورة أي $f \in \mathcal S$ تحتوي القرص $D(0, \frac14)$ — أي الثابت الشامل المضبوط للهندسة المطابقة.

الجزء الأول — مبرهنة المساحة. لتكن $g(w) = w + b_0 + \frac{b_1}w + \frac{b_2}{w^2} + \cdots$ هولومورفية ومتباينة على $\{\abs w > 1\}$ .

من أجل $\rho > 1$ ، لتكن $A_\rho$ مساحةَ (قياس لوبيغ) المجموعة المتراصة $K_\rho = \C\setminus g(\{\abs w > \rho\})$ ، أي المنطقة المحاطة بمنحني جوردان الناعم $g(C_\rho)$ . وباستعمال صيغة المساحة في مبرهنة غرين–ريمان من مجلد السنة الجامعية 2 — أي إن المساحة المحاطة هي $\frac1{2\iu} \oint\bar\zeta\,\dd\zeta$ على امتداد الحافة الموجَّهة إيجابيًّا — برهن على أن

$A_\rho = \frac{1}{2\iu}\int_{C_\rho} \overline{g(w)}\,g'(w)\,\dd w = \pi\Bigl(\rho^2 - \sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2\rho^{-2n}\Bigr) :$

عوّض متسلسلتَي لوران للمقدارين $\bar g$ و $g'$ على $C_\rho$ وكامل حدًّا حدًّا (بالتقارب الناظمي؛ ولا تنجو سوى الجداءات ذات التردد المعدوم).
اجعل $\rho \to 1^+$ واخلص إلى مبرهنة المساحة:

$\sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2 \;\leq\; 1 .$

وعلى وجه الخصوص $\abs{b_1} \leq 1$ . ومتى يكون $\abs{b_1} = 1$ ؟

الجزء الثاني — متراجحة بيبرباخ $\abs{a_2} \leq 2$ . لتكن $f = z + a_2z^2 + \cdots \in \mathcal S$ .

برهن على أن $f(z^2)/z^2$ هولومورفية وعديمة الجذور على $\mathbb D$ ، وتقبل جذرًا تربيعيًّا هولومورفيًّا $\varphi$ يحقق $\varphi(0) = 1$ ؛ وضع $h(z) = z\varphi(z^2)$ ، بحيث $h(z)^2 = f(z^2)$ . وبرهن على أن $h$ دالةٌ فردية أحادية التكافؤ على $\mathbb D$ بنشر $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + \cdots$ . (التباين: $h(z)^2 = h(z')^2$ يفرض $z^2 = z'^2$ ؛ ثم أنهِ بالفردية.)
طبّق مبرهنة المساحة على $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}{2w} + \cdots$ على $\{\abs w > 1\}$ (وتحقق من أحادية التكافؤ ومن النشر)، واخلص إلى $\abs{a_2} \leq 2$ .
برهن على أن دالة كوبه

$k(z) = \frac{z}{(1 - z)^2} = \sum_{n\geq1}n\,z^n$

تنتمي إلى $\mathcal S$ ، وأن $a_2 = 2$ ، وأنها ترسل $\mathbb D$ على $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ (اكتب $k = \frac14\bigl[\bigl(\frac{1+z}{1 - z}\bigr)^2 - 1\bigr]$ وتتبّع الصور): فتكون جميع المتراجحات الآتية مضبوطة.

الجزء الثالث — مبرهنة الربع.

لتكن $f \in \mathcal S$ وليكن $c \notin f(\mathbb D)$ . برهن على أن

$F(z) = \frac{c\,f(z)}{c - f(z)}$

تنتمي إلى $\mathcal S$ ، واحسب معاملها الثاني: $A_2 = a_2 + \frac1c$ .
طبّق بيبرباخ على كلٍّ من $f$ و $F$ : واخلص إلى $\abs{\frac1c} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ ، أي $\abs c \geq \frac14$ . فكل قيمة متجاهَلة طويلتها $\geq \frac14$ : أي $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ — وهي مبرهنة كوبه للربع. وتحقق من الضبط على دالة كوبه.
استنتج تقديرًا كمّيًّا لتطبيق ريمان: أنه إذا كان $\varphi \colon \Omega \to \mathbb D$ تطبيقَ ريمان في المبرهنة 18.9 عند $z_0$ ، فإن

$\frac{d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)}{4} \;\leq\; \frac1{\varphi'(z_0)} \;\leq\; 4\,d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)$

— وبرهن على الأقل على المتراجحة اليسرى بتطبيق كوبه على $\varphi^{-1}$ معيَّرًا بكيفية مناسبة، وعلى اليمنى بشوارتز مطبَّقة على $\varphi$ على القرص $D(z_0, d) \subseteq \Omega$ .

الجزء الرابع — المنظور.

حدس بيبرباخ (1916) أن $\abs{a_n} \leq n$ من أجل كل $n$ ، مع التساوي من أجل دورانات دالة كوبه فقط؛ وبرهن دي برانج على ذلك عام 1985. تحقق من الحدس يدويًّا من أجل دالة كوبه ودوراناتها $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z)$ . ثم ادفع نشر السؤال 4 حدًّا إضافيًّا: بكتابة $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ ، برهن على $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ وعلى

$g(w) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots ,$

بحيث تعطي مبرهنة المساحة المتراجحةَ المحسَّنة $\bigl|\frac{a_2}2\bigr|^2 + 3\bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\bigr|^2 \leq 1$ . وتحقق منها على دالة كوبه ( $a_2 = 2$ ، $a_3 = 3$ ).

الجزء الخامس — مبرهنة التشويه. متراجحة بيبرباخ، منقولةً حول القرص بالتشاكلات الذاتية، تتحكم في $f'$ في كل مكان. ونثبّت $f \in \mathcal S$ .

(تحويل كوبه) من أجل $z_0 \in \mathbb D$ لتكن $\varphi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ ، وهي تشاكل ذاتي للقرص (المبرهنة 18.5) مع $\varphi(0) = z_0$ . برهن على أن

$F(z) = \frac{f(\varphi(z)) - f(z_0)} {f'(z_0)\,\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)}$

تنتمي إلى $\mathcal S$ (إذ تُورَث أحادية التكافؤ؛ واحسب $\varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2$ وتحقق من التعيير؛ وتذكّر أن $f' \neq 0$ من أجل $f$ متباينة، التعريف 18.1).
احسب المعامل الثاني $A_2 = \frac12F''(0)$ للدالة $F$ :

$A_2 = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] ,$

واستنتج من بيبرباخ (السؤال 4)، من أجل $z = r\eu^{\iu\theta}$ ، المتراجحة الأساسية:

$\Bigl|\,z\,\frac{f''(z)}{f'(z)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \;\leq\; \frac{4r}{1 - r^2} .$
استخرج الجزء الحقيقي:

$\frac{2r^2 - 4r}{1 - r^2} \;\leq\; \operatorname{Re}\Bigl(z\,\frac{f''(z)}{f'(z)}\Bigr) \;\leq\; \frac{2r^2 + 4r}{1 - r^2} .$
برهن على أن $\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl| f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \frac1t \operatorname{Re}\bigl(z\frac{f''(z)}{f'(z)}\bigr)$ عند $z = t\eu^{\iu\theta}$ (إذ من أجل دالة $g$ غير منعدمة من الصنف $\mathcal C^1$ لمتغيّر حقيقي، $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \operatorname{Re}(g'/g)$ )، وكامل حدود السؤال 12 على امتداد نصف المستقيم لتحصل على مبرهنة التشويه:

$\frac{1 - r}{(1 + r)^3} \;\leq\; \abs{f'(z)} \;\leq\; \frac{1 + r}{(1 - r)^3}, \qquad \abs z = r .$
استنتج مبرهنة النمو:

$\frac{r}{(1 + r)^2} \;\leq\; \abs{f(z)} \;\leq\; \frac{r}{(1 - r)^2}, \qquad \abs z = r$

(الحدّ الأعلى: بمكاملة $f'$ على القطعة $[0, z]$ ؛ والحدّ الأدنى: إذا كان $\abs{f(z)} < \frac14$ ، فإن القطعة $[0, f(z)]$ تقع في $f(\mathbb D)$ حسب السؤال 7؛ فأرجعها بواسطة $f^{-1}$ — وهو هولومورفي حسب النتيجة 17.10 — وحُدّ $\abs{f(z)} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)} \,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^r\frac{1 - t}{(1 + t)^3}\,\dd t$ باستعمال $\abs{\dd\zeta} \geq \dd\abs\zeta$ ).
تحقق من أن دالة كوبه تحقق التساوي في الحدود الأربعة كلها، عند $z = r$ من أجل العلوية وعند $z = -r$ من أجل السفلية: فتكون $k$ في آن واحد أكثر أعضاء $\mathcal S$ توسيعًا، وعند النقطة المقابلة، أكثرها تقليصًا.

الجزء السادس — الصرامة الأقصوية. في كل متراجحة حتى الآن، يعيّن التساوي دالةَ كوبه إلى غاية دوران. ونبرهن على ذلك، ثم نحصد.

لنفترض أن $f \in \mathcal S$ تحقق $\abs{a_2} = 2$ . تتبّع التساوي عبر الأسئلة 2–4: فتفرض مبرهنة المساحة أن $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ ؛ وتجعل فردية $h$ الدالةَ $g$ فردية، ومنه $b_0 = 0$ ؛ ثم اقلب لتجد $h$ ، ثم $f$ ، واخلص إلى أن

$f(z) = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}z\bigr) \quad\text{حيث} \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} :$

فتكون دورانات دالة كوبه هي أعضاء $\mathcal S$ الوحيدة التي تحقق $\abs{a_2} = 2$ .
برهن على أنه إذا تجاهلت $f \in \mathcal S$ قيمةً $c$ تحقق $\abs c = \frac14$ بالضبط، فإن $f$ دورانٌ لدالة كوبه، وعيّن $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ (بتتبّع التساوي عبر سلسلة السؤال 7 $4 = \abs{1/c} = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ ): فلا يبلغ ثابتَ مبرهنة الربع إلا العائلة الأقصوية.
(المعاملات بثمن بخس) اجمع مبرهنة النمو مع تقديرات كوشي (المبرهنة 16.10) على الدائرة $\abs z = 1 - \frac1n$ لتبرهن على

$\abs{a_n} \;\leq\; \eu\,n^2 \qquad (n \geq 2) .$

(ودي برانج، 1985: $\abs{a_n} \leq n$ ؛ والعامل $\eu n$ هو ثمن الأدوات الابتدائية.)
(تغطية الأقراص الجزئية) برهن على أنه من أجل كل $0 < r < 1$ ،

$f\bigl(D(0, r)\bigr) \supseteq D\Bigl(0, \frac{r}{(1 + r)^2}\Bigr),$

وهي مضبوطة من أجل دالة كوبه، واستعد مبرهنة الربع حين $r \to 1^-$ . (نقاط حافة الصورة المفتوحة $f(D(0,r))$ تقع على $f(\partial D(0,r))$ ، ومنه طويلتها $\geq \frac{r}{(1+r)^2}$ حسب السؤال 14؛ وقطعةٌ من $0$ إلى نقطة متجاهَلة أصغر طويلةً كانت ستضطر إلى قطع تلك الحافة.)
(كوبه عند كل نقطة) لتكن $f$ أحادية التكافؤ على $\mathbb D$ ، وليست بالضرورة معيَّرة، ولتكن $z_0 \in \mathbb D$ . برهن على

$\tfrac14\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)} \;\leq\; d\bigl(f(z_0), \partial f(\mathbb D)\bigr) \;\leq\; \bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}$

(اليسرى: بمبرهنة الربع مطبَّقة على تحويل كوبه في السؤال 10؛ واليمنى: بشوارتز (المبرهنة 18.4) مطبَّقة على $\psi^{-1}\circ\hat g$ ، حيث $\hat g(w) = f^{-1}\bigl(f(z_0) + dw\bigr)$ و $d$ المسافة و $\psi$ تشاكل ذاتي للقرص يرسل $0$ إلى $z_0$ ). ولماذا تكون $\partial f(\mathbb D)$ غير خالية؟
تحقق من السؤال 20 على $f = k$ عند $z_0 = r \in \intoo01$ : احسب $d\bigl(k(r), \partial k(\mathbb D)\bigr) = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2}$ وتحقق من أن المتراجحة اليسرى تساوٍ: فتُشبع دالة كوبه مبرهنتها الخاصة عند كل نقطة من $\intoo01$ .
(العبرة) في عشرة أسطر: ما المبدأ الواحد الذي تقوم عليه مبرهنة المساحة، وكيف تتدفق منه بيبرباخ، ومبرهنة الربع، والتشويه، والنمو، والتغطية جميعًا؟ وقارن ذلك بعالم شوارتز–بيك في المبرهنة 18.4: ففي كليهما، تصلّب متراجحةٌ داخلية واحدة الهندسةَ كلها، وتكون الأقصويات وحيدة إلى غاية دوران.

الجزء السابع — التراص والمقلوبات وفحص واقعي.

برهن على أن الصنف $\mathcal S$ متراص بالنسبة إلى التقارب المنتظم محليًّا: فهو محدود محليًّا بمبرهنة النمو، ومنه ناظمي (المبرهنة 18.7)؛ وكل نهاية منتظمة محليًّا لأعضاء $\mathcal S$ تنتمي بدورها إلى $\mathcal S$ (إذ تمرّ التعييرات إلى النهاية بتقارب فايرشتراس للمشتقات؛ ويبقى التباين بهورفيتز، التمرين 17.8، لأن النهاية غير ثابتة). ولماذا يهمّ هذا في مسائل أقصوية مثل مسألة بيبرباخ؟
من أجل $f \in \mathcal S$ ، ليكن $g = f^{-1}$ معرَّفًا بجوار $0$ . برهن على $g(w) = w - a_2w^2 + O(w^3)$ ، ومنه يخضع المعامل الثاني للمقلوب للحدّ المضبوط نفسه $\abs{A_2} = \abs{a_2} \leq 2$ ، مع التساوي من أجل دوال كوبه المدارة بالضبط.
عيّن من أجل أي $a \in \C$ ينتمي كثير الحدود $f(z) = z + az^2$ إلى $\mathcal S$ : برهن على أن $f$ متباينة على $\mathbb D$ إذا وفقط إذا كان $\abs a \leq \frac12$ (بتحليل $f(z_1) - f(z_2)$ ). واخلص: أن حدّ المعاملات الحقيقي من أجل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية هو $\frac12$ ، أي أصغر بأربع مرات من حدّ بيبرباخ $2$ — فأقصويات $\mathcal S$ كائنات متسامية فعلًا، ولا يقاربها أي كثير حدود.

حل

حل المسألة 18.1.

1. $g$ متباينة وهولومورفية؛ وعلى $C_\rho$ (حيث $\rho > 1$ ) تكون ناعمة، وتكون المساحة المحاطة $\frac1{2\iu}\oint_{g(C_\rho)}\bar\zeta\,\dd\zeta$ (بصيغة مساحة غرين–ريمان من السنة الجامعية 2، مطبَّقةً بتوجيه إيجابي). وبتعويض $\zeta = g(w)$ و $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ :

A_\rho = \frac1{2\iu}\int_{C_\rho}\overline{g(w)}\,g'(w)\dd w = \frac\rho2\int_0^{2\pi}\overline{g(\rho\eu^{\iu\theta})} \,g'(\rho\eu^{\iu\theta})\,\eu^{\iu\theta}\,\dd\theta .

ونُدخل $\bar g = \rho\eu^{-\iu\theta} + \bar b_0 + \sum_m\bar b_m\rho^{-m}\eu^{\iu m\theta}$ و $g' = 1 - \sum_nnb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta}$ : فبعد الضرب في $\eu^{\iu\theta}$ ، لا تنجو من المكاملة في $\theta$ سوى الجداءات ذات التردد المعدوم (والتقارب الناظمي يبرّر العمل حدًّا حدًّا): فيسهم الزوج $(\rho\eu^{-\iu\theta})\cdot1$ بالمقدار $2\pi\rho$ ، ويسهم كل زوج $\bar b_n\rho^{-n}\eu^{\iu n\theta}\cdot(-nb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta})$ بالمقدار $-2\pi n\abs{b_n}^2\rho^{-2n-1}$ :

A_\rho = \pi\rho^2 - \pi\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n}.

2. المساحات غير سالبة: $\sum_{n\leq N}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n} \leq \rho^2$ من أجل كل $N$ ؛ ونجعل $\rho \to 1^+$ ثم $N \to \infty$ : $\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2 \leq 1$ . والتساوي في $\abs{b_1} \leq 1$ يفرض $b_n = 0$ من أجل جميع الأدلّة الأخرى: $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ ، وهي ترسل على متممة قطعة طولها $4$ (أي تطبيق من نمط جوكوفسكي): وهي الأقصويات.

3. المقدار $f(z)/z = 1 + a_2z + \cdots$ هولومورفي وعديم الجذور على $\mathbb D$ (إذ لا تنعدم $f$ إلا عند $0$ ، انعدامًا بسيطًا: بالتباين)، ومنه كذلك $f(z^2)/z^2$ ، وله جذر تربيعي هولومورفي $\varphi$ يحقق $\varphi(0) = 1$ (التعريف 18.8؛ و $\mathbb D$ محدّب). عندئذٍ تحقق $h(z) = z\varphi(z^2)$ أن $h^2 = f(z^2)$ ، و $h(z) = z\bigl(1 + \frac{a_2}2z^2 + \cdots\bigr)$ (بمتسلسلة ذات الحدين للجذر)، وتكون $h(z) = z\varphi(z^2)$ فردية بحكم البناء (إذ $\varphi(z^2)$ زوجية). وأما التباين: فإن $h(z) = h(z')$ يعطي $f(z^2) = f(z'^2)$ ، ومنه $z^2 = z'^2$ ، أي $z' = \pm z$ ؛ فإذا كان $z' = -z$ ، أعطت الفردية $h(z) = -h(z)$ ، ومنه $h(z) = 0$ ، وهو يفرض $z = 0$ (لأن $\varphi$ عديمة الجذور): أي $z = z' = 0$ .

4. $g(w) = 1/h(1/w)$ : فمن أجل $\abs w > 1$ ، $1/w \in \mathbb D\setminus\{0\}$ و $h \neq 0$ هناك: فهي معرَّفة جيدًا، ومتباينة (بوصفها تركيبةً لغمرين)، بنشر

g(w) = \frac{1}{\frac1w\bigl(1 + \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\bigr)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \cdots :

من شكل الجزء الأول مع $b_1 = -\frac{a_2}2$ . وتعطي مبرهنة المساحة أن $\abs{\frac{a_2}2} \leq 1$ : أي $\abs{a_2} \leq 2$ .

5. $k(z) = \frac z{(1-z)^2} = z\sum_{m\geq0}(m + 1)z^m = \sum_{n\geq1}nz^n$ : المعاملات $a_n = n$ ، ومنه $a_2 = 2$ . وأما أحادية التكافؤ والصورة: $k = \frac14\bigl[w^2 - 1\bigr]$ مع $w = \frac{1 + z}{1 - z}$ ، وهو تطبيق مطابق للقرص $\mathbb D$ على نصف المستوي الأيمن؛ ويرسل $w^2$ نصف المستوي ذاك مطابقةً على $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ؛ ثم يعطي $\frac{\cdot - 1}4$ أن $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ : فهي متباينة في كل مرحلة، والصورة كما ادُّعي.

6. $F = \frac{cf}{c - f}$ : بما أن $c \notin f(\mathbb D)$ ، لا ينعدم المقام أبدًا: فتكون $F$ هولومورفية ومتباينة (إذ $w \mapsto \frac{cw}{c - w}$ تحويل موبيوس متباين خارج $w = c$ ). وأما النشر: فمع $f = z + a_2z^2 + \cdots$ ،

F = f\cdot\frac1{1 - f/c} = \bigl(z + a_2z^2\bigr)\Bigl(1 + \frac zc\Bigr) + O(z^3) = z + \Bigl(a_2 + \frac1c\Bigr)z^2 + O(z^3):

$F \in \mathcal S$ مع $A_2 = a_2 + \frac1c$ .

7. بيبرباخ مرتين: $\abs{a_2} \leq 2$ و $\abs{a_2 + \frac1c} \leq 2$ ، ومنه $\abs{\frac1c} \leq 4$ : أي $\abs c \geq \frac14$ . فتقع كل قيمة متجاهَلة خارج $D(0,\frac14)$ ، أي $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ . وهي مضبوطة: إذ تتجاهل دالة كوبه القيمةَ $-\frac14$ (السؤال 5).

8. لتكن $d = d(z_0, \partial\Omega)$ ولتكن $\psi = \varphi^{-1} \colon \mathbb D \to \Omega$ مع $\psi(0) = z_0$ و $\psi'(0) = 1/\varphi'(z_0) > 0$ . والتعيير $\tilde f(z) = \frac{\psi(z) - z_0}{\psi'(0)}$ يقع في $\mathcal S$ ، ومنه تحتوي صورته $D(0, \frac14)$ ؛ وبإعادة التحجيم، $\Omega = \psi(\mathbb D) \supseteq D\bigl(z_0, \tfrac{\psi'(0)}4\bigr)$ ، ومنه $d \geq \frac{\psi'(0)}4 = \frac1{4\varphi'(z_0)}$ : وهي المتراجحة اليسرى. وأما اليمنى: فإن $\varphi\circ(z_0 + d\,\cdot)$ يرسل $\mathbb D$ في $\mathbb D$ مع $0 \mapsto 0$ ؛ وتحدّ شوارتز مشتقته عند $0$ : $d\,\varphi'(z_0) \leq 1$ ، أي $\frac1{\varphi'(z_0)} \geq d$ — ومعًا

d \leq \frac1{\varphi'(z_0)} \leq 4d .

(والمتراجحة اليسرى كما عُرضت في نص السؤال هي السلسلة نفسها معادةَ الترتيب.)

9. من أجل دالة كوبه $a_n = n$ : فيقع التساوي في الحدس كله؛ ولدوراناتها $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z) = \sum n\eu^{\iu(n-1)\theta}z^n$ أيضًا $\abs{a_n} = n$ . وبدفع السؤال 4: $h = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ مع $h^2 = f(z^2)$ ؛ وبمقارنة معاملات $z^6$ : $2c_5 + \frac{a_2^2}4 = a_3$ ، ومنه $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ . عندئذٍ

g(w) = \frac1{h(1/w)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \Bigl(\frac{a_2^2}4 - c_5\Bigr)\frac1{w^4} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots,

وتعطي مبرهنة المساحة ( $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ ) أن

\Bigl|\frac{a_2}2\Bigr|^2 + 3\,\Bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr|^2 \leq 1 .

وفحص كوبه ( $a_2 = 2$ ، $a_3 = 3$ ): $\abs{\frac{a_2}2}^2 = 1$ و $\frac{3\cdot4}8 - \frac32 = 0$ : فالمجموع $1$ بالضبط — أي أقصوي، كما يجب.

10. $\varphi$ تشاكل ذاتي للقرص مع $\varphi(0) = z_0$ ، ومنه تكون $f\circ\varphi$ أحادية التكافؤ على $\mathbb D$ (بوصفها تركيبةً لغمرين)، و $f'(z_0) \neq 0$ (التعريف 18.1): فتكون $F$ معرَّفة جيدًا وأحادية التكافؤ. و $F(0) = 0$ . وبقاعدة خارج القسمة:

\varphi'(z) = \frac{(1 + \bar z_0z) - (z + z_0)\bar z_0} {(1 + \bar z_0z)^2} = \frac{1 - \abs{z_0}^2}{(1 + \bar z_0z)^2}, \qquad \varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2 ,

ومنه $(f\circ\varphi)'(0) = f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)$ و $F'(0) = 1$ : أي $F \in \mathcal S$ .

11. مع $G = f\circ\varphi$ : $G'' = f''(\varphi)\,\varphi'^2 + f'(\varphi)\,\varphi''$ ، ويعطي $\varphi''(z) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)(1 + \bar z_0z)^{-3}$ أن $\varphi''(0) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)$ . ومنه

A_2 = \frac{G''(0)}{2f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)} = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] .

وتعطي بيبرباخ من أجل $F$ (السؤال 4) أن $\abs{A_2} \leq 2$ ، أي $\bigl|(1 - \abs{z_0}^2)\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\bigr| \leq 4$ . ونضرب في $z_0/(1 - \abs{z_0}^2)$ ، وطويلته $r/(1 - r^2)$ من أجل $z_0 = r\eu^{\iu\theta}$ ، ونستعمل $z_0\bar z_0 = r^2$ :

\Bigl|\,z_0\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \leq \frac{4r}{1 - r^2} .

12. عددٌ عقدي على مسافة لا تتجاوز $\rho$ من النقطة الحقيقية $c$ جزؤه الحقيقي في $\intcc{c - \rho}{c + \rho}$ : نطبّق ذلك على $c = \frac{2r^2}{1-r^2}$ ، $\rho = \frac{4r}{1-r^2}$ .

13. من أجل $g$ غير منعدمة من الصنف $\mathcal C^1$ : $\log\abs g = \frac12\log(g\bar g)$ ، ومنه $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \frac{g'\bar g + g\bar g'}{2\abs g^2} = \operatorname{Re}\frac{g'}g$ . ومع $g(t) = f'(t\eu^{\iu\theta})$ (وهي عديمة الجذور: بأحادية التكافؤ)، $g'(t) = \eu^{\iu\theta}f''(t\eu^{\iu\theta})$ ، ومنه عند $z = t\eu^{\iu\theta}$ :

\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \operatorname{Re}\Bigl(\eu^{\iu\theta} \frac{f''}{f'}\Bigr) = \frac1t\operatorname{Re}\Bigl(z\frac{f''}{f'}\Bigr) \in \Bigl[\frac{2t - 4}{1 - t^2},\ \frac{2t + 4}{1 - t^2}\Bigr]

حسب السؤال 12 عند نصف القطر $t$ . وبما أن $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1+t}{(1-t)^3} = \frac1{1+t} + \frac3{1-t} = \frac{2t+4}{1-t^2}$ و $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1-t}{(1+t)^3} = \frac{-1}{1-t} - \frac3{1+t} = \frac{2t-4}{1-t^2}$ ، تعطي المكاملة من $0$ إلى $r$ (إذ تنعدم الدوال الثلاث عند $t = 0$ ، و $f'(0) = 1$ )

\log\frac{1-r}{(1+r)^3} \leq \log\abs{f'(z)} \leq \log\frac{1+r}{(1-r)^3} :

أي مبرهنة التشويه، بعد أخذ الأُسّي.

14. الحدّ الأعلى: على امتداد القطعة $[0, z]$ ،

\abs{f(z)} = \Bigl|\int_0^rf'(t\eu^{\iu\theta}) \eu^{\iu\theta}\dd t\Bigr| \leq \int_0^r\frac{1+t}{(1-t)^3}\dd t = \frac{r}{(1-r)^2}

( $\frac{\dd}{\dd t}\frac t{(1-t)^2} = \frac{1+t}{(1-t)^3}$ ). وأما الأدنى: فلاحظ أن $\frac r{(1+r)^2} < \frac14$ من أجل $r < 1$ (إذ يقول ذلك إن $(1-r)^2 > 0$ )، ومنه إذا كان $\abs{f(z)} \geq \frac14$ فلا شيء نبرهن عليه. وإلا فإن القطعة $[0, f(z)]$ تقع في $D(0, \frac14) \subseteq f(\mathbb D)$ (السؤال 7)، ويكون $\gamma = f^{-1}\circ[0, f(z)]$ مسارًا من الصنف $\mathcal C^1$ من $0$ إلى $z$ في $\mathbb D$ (إذ $f^{-1}$ هولومورفي، النتيجة 17.10). وبتعويض $w = f(\zeta)$ ،

\abs{f(z)} = \int_{[0,f(z)]}\abs{\dd w} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}\,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^1\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3} \,\abs{\gamma'(s)}\,\dd s

مع $\rho = \abs\gamma$ ، باستعمال حدّ التشويه الأدنى عند نصف القطر $\rho(s)$ . وبما أن $\abs{\gamma'} \geq \rho'$ (حيثما عُرِّفت؛ و $\rho$ ليبشيتزية) وأن العامل المكامَل موجب،

\abs{f(z)} \geq \int_0^1 \frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}\,\rho'(s)\,\dd s = \int_0^{r}\frac{1 - u}{(1 + u)^3}\,\dd u = \frac{r}{(1 + r)^2}

(إذ $\rho(0) = 0$ و $\rho(1) = r$ ؛ ولا يستعمل التعويض سوى دالة أصلية، $\frac{\dd}{\dd u}\frac u{(1+u)^2} = \frac{1-u}{(1+u)^3}$ ، لا الرتابة).

15. $k'(z) = \frac{\dd}{\dd z}\,z(1 - z)^{-2} = \frac{1 + z}{(1 - z)^3}$ . وعند $z = r$ : $k'(r) = \frac{1+r}{(1-r)^3}$ و $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ — أي الحدّان العلويان مبلوغان. وعند $z = -r$ : $k'(-r) = \frac{1-r}{(1+r)^3}$ و $\abs{k(-r)} = \frac r{(1+r)^2}$ — أي الحدّان السفليان مبلوغان. فتمدّد دالة كوبه محورها الموجب تمديدًا أعظميًّا نحو الحافة البعيدة وتضغط نصف المستقيم المقابل ضغطًا أعظميًّا نحو طرف شقّها.

16. $\abs{a_2} = 2$ يعني $\abs{b_1} = 1$ من أجل $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \cdots$ (السؤال 4)؛ وعندئذٍ تلغي مبرهنة المساحة $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ كل معامل آخر: $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ مع $\eu^{\iu\alpha} = -\frac{a_2}2$ . وبما أن $h$ فردية، $g(-w) = 1/h(-1/w) = -1/h(1/w) = -g(w)$ : أي إن $g$ فردية، ومنه $b_0 = 0$ . وبالقلب، $h(z) = 1/g(1/z) = \frac{z}{1 + \eu^{\iu\alpha}z^2}$ ، ويعطي $f(z^2) = h(z)^2$

f(w) = \frac{w}{(1 + \eu^{\iu\alpha}w)^2} = \frac{w}{(1 - \eu^{\iu\theta}w)^2} = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}w\bigr), \qquad \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} .

وبالعكس لكل دوران $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ طويلتها $2$ : فأقصويات بيبرباخ هي بالضبط دوال كوبه المدارة.

17. إذا تُجوهلت $c$ مع $\abs c = \frac14$ : أعطى السؤال 6 أن $F \in \mathcal S$ مع $A_2 = a_2 + \frac1c$ ، ومنه $\frac1c = A_2 - a_2$ و

4 = \Bigl|\frac1c\Bigr| = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 2 + 2 = 4 :

أي تساوٍ في كل المراحل، وعلى وجه الخصوص $\abs{a_2} = 2$ . وحسب السؤال 16، $f = \eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}\cdot)$ ، ومجموعتها المتجاهَلة $\eu^{-\iu\theta} \intoc{-\infty}{-\frac14}$ : فالقيمة المتجاهَلة الوحيدة ذات الطويلة $\frac14$ هي $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ . (والفحص: $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ و $\frac1c = -4\eu^{\iu\theta}$ ، ومنه $A_2 = -2\eu^{\iu\theta} = -a_2$ : فتُشبَع متراجحة المثلث بالاصطفاف المعاكس، كما يجب.)

18. تعطي تقديرات كوشي على الدائرة $\abs z = r$ (المبرهنة 16.10)، مع مبرهنة النمو،

\abs{a_n} \leq r^{-n}\sup_{\abs z = r}\abs f \leq r^{1-n}\,(1 - r)^{-2} .

ونختار $r = 1 - \frac1n$ ( $n \geq 2$ ): $r^{1-n} = \bigl(1 + \frac1{n-1}\bigr)^{n-1} < \eu$ (وهي متتالية متزايدة نهايتها $\eu$ ) و $(1 - r)^{-2} = n^2$ : ومنه $\abs{a_n} < \eu\,n^2$ .

19. المجموعة $U = f(D(0, r))$ مفتوحة (النتيجة 17.10) وتحتوي $0$ . وأما الحافة: فإذا كان $p \in \partial U$ ، كتبنا $p = \lim f(z_k)$ مع $z_k \in D(0, r)$ ؛ وتعطي متتالية جزئية $z_k \to z_\infty \in \bar D(0, r)$ ، ويفرض $f(z_\infty) = p \notin U$ أن $z_\infty \in \partial D(0, r)$ : أي $\partial U \subseteq f(\partial D(0, r))$ ، ومنه لكل نقطة حافة من $U$ الطويلةُ $\geq \frac r{(1+r)^2}$ (السؤال 14). والآن لتكن $\abs w < \frac r{(1+r)^2}$ ولنفترض أن $w \notin U$ . فالقطعة $[0, w]$ مترابطة، وتقاطع $U$ (عند $0$ ) ومتممتها (عند $w$ )، ومنه تقاطع $\partial U$ ؛ لكن جميع نقاطها ذات طويلة $\leq \abs w < \frac r{(1+r)^2}$ : وهو تناقض. ومنه $D\bigl(0, \frac r{(1+r)^2}\bigr) \subseteq U$ . وأما الضبط: فإن $k(-r) = -\frac r{(1+r)^2}$ صورةُ نقطة حافة من $D(0,r)$ ، و $k$ متباينة، ومنه $k(-r) \notin k(D(0, r))$ : فلا يمكن زيادة نصف القطر. وحين $r \to 1^-$ ، $\frac r{(1+r)^2} \to \frac14$ : أي مبرهنة الربع من أجل القرص الكامل.

20. أولًا، $\partial f(\mathbb D) \neq \emptyset$ : وإلا لكانت $f(\mathbb D)$ ، وهي مفتوحة ومغلقة وغير خالية، هي $\C$ كله، ولكانت $f^{-1} \colon \C \to \mathbb D$ دالةً صحيحة محدودة غير ثابتة، خلافًا لما في النتيجة 16.12. وأما المتراجحة اليسرى: فتحويل كوبه $F$ في السؤال 10 يقع في $\mathcal S$ و $F(\mathbb D) = \frac{f(\mathbb D) - f(z_0)}{f'(z_0)(1-\abs{z_0}^2)}$ ؛ وحسب السؤال 7 يحتوي $D(0, \frac14)$ ، ومنه

f(\mathbb D) \supseteq f(z_0) + D\Bigl(0,\ \tfrac14\abs{f'(z_0)}\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\Bigr) ,

وتكون كل نقطة من $\partial f(\mathbb D)$ — وهي منفصلة عن المجموعة المفتوحة $f(\mathbb D)$ — على مسافة $\geq \frac14(1-\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ من $f(z_0)$ . وأما اليمنى: فلتكن $d = d(f(z_0), \partial f(\mathbb D)) < \infty$ . فالقرص $D(f(z_0), d)$ يقع في $f(\mathbb D)$ : إذ تبقى قطعةٌ من $f(z_0)$ إلى أي نقطة منه على مسافة $< d$ من $f(z_0)$ ، ومنه لا تقاطع $\partial f(\mathbb D)$ أبدًا، وتبقيها حجة الترابط في السؤال 19 في $f(\mathbb D)$ . عندئذٍ يرسل $\hat g(w) = f^{-1}(f(z_0) + dw)$ المجموعةَ $\mathbb D$ في $\mathbb D$ مع $\hat g(0) = z_0$ ، ويثبّت $\chi = \psi^{-1}\circ\hat g$ ، حيث $\psi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ ، النقطةَ $0$ : فتعطي شوارتز (المبرهنة 18.4) أن $\abs{\chi'(0)} \leq 1$ . وبما أن $\chi'(0) = \frac{\hat g'(0)}{\psi'(0)} = \frac{d}{f'(z_0)\,(1 - \abs{z_0}^2)}$ ، يكون هذا $d \leq (1 - \abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ .

21. $k(\mathbb D) = \C\setminus \intoc{-\infty}{-\frac14}$ ، ومنه $\partial k(\mathbb D) = \intoc{-\infty}{-\frac14}$ ، ومن أجل النقطة الحقيقية الموجبة $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ تكون أقرب نقطة حافة $-\frac14$ :

d = k(r) + \frac14 = \frac{4r + (1-r)^2}{4(1-r)^2} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} .

والطرف الأيسر في السؤال 20: $\frac14(1 - r^2)k'(r) = \frac14\,\frac{(1-r^2)(1+r)}{(1-r)^3} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} = d$ : أي تساوٍ. (والطرف الأيمن يساوي $4d$ : فالعامل $4$ الكامل يفصل الطرفين، وتجلس دالة كوبه عند القاع بالضبط.)

22. المبدأ الواحد هو بارسيفال: فأحادية التكافؤ تمنع التداخل، ومنه تكون مساحة متممة صورة $\{\abs w > \rho\}$ ، منشورةً في أنماط فورييه على الدوائر، غير سالبة — أي إن مبرهنة المساحة متطابقةٌ $L^2$ بإشارة. وكل ما عداها هو تلك المتراجحة منقولةً: فجذرٌ تربيعي (السؤال 3) يحوّلها إلى $\abs{a_2} \leq 2$ ؛ وانعكاسُ موبيوس عن قيمة متجاهَلة (السؤال 6) يحوّل $\abs{a_2} \leq 2$ إلى مبرهنة الربع؛ وتشاكلاتُ القرص الذاتية (السؤال 10) تنشر $\abs{a_2} \leq 2$ على القرص كله بوصفها مبرهنة التشويه؛ وتحوّل المكاملةُ الشعاعية التشويهَ إلى نمو، والنموَ إلى تغطية. وفي كل مرحلة تنتقل حالة التساوي أيضًا، ولتحطّ دائمًا على دوال كوبه المدارة — عائلةٌ أقصوية واحدة للنظرية كلها، تمامًا كما تكون الدورانات أقصويات مبرهنة شوارتز المساعدة الوحيدة. فمتراجحة داخلية واحدة، مع صرامة حالة تساويها، تحكم الهندسة بأكملها: والتطبيق المطابق فنُّ استثمار مثل هذه المتراجحات.

23. تحدّ مبرهنة النمو المقدارَ $\abs f \leq \frac{r}{(1-r)^2}$ بانتظام على كل $\bar D(0, r)$ حيث $r < 1$ ، من أجل كل $f \in \mathcal S$ دفعةً واحدة: أي محدود محليًّا، ومنه تكون $\mathcal S$ عائلةً ناظمية (المبرهنة 18.7). وإذا كان $f_n \in \mathcal S \to f$ بانتظام محليًّا: فإن $f$ هولومورفية مع $f_n' \to f'$ بانتظام محليًّا (بفايرشتراس)، ومنه $f(0) = 0$ و $f'(0) = 1$ — وعلى وجه الخصوص $f$ غير ثابتة — وتجعل هورفيتز (التمرين 17.8) نهايةَ التطبيقات المتباينة متباينة: أي $f \in \mathcal S$ . ومؤثّرة متصلة (مثل $f \mapsto \abs{a_2} = \frac{\abs{f''(0)}}2$ ) على صنف متراص تبلغ سوپريمومها: فتوجد الدوال الأقصوية قبل أن يُعرف ما هي — وهي نقطة البداية لكل هجوم تغيّري على مسائل المعاملات، ومنها مسألة بيبرباخ.

24. نكتب $g(w) = w + A_2w^2 + O(w^3)$ ونركّب:

z = g(f(z)) = f(z) + A_2f(z)^2 + O(z^3) = z + (a_2 + A_2)z^2 + O(z^3),

ومنه $A_2 = -a_2$ و $\abs{A_2} \leq 2$ (ببيبرباخ)، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $\abs{a_2} = 2$ ، أي إذا وفقط إذا كانت $f$ دالةَ كوبه مدارة (السؤال 16) — وعندئذٍ يكون $g$ المقلوبَ الموافق، معرَّفًا على المستوي المشقوق.

25. $f(z_1) - f(z_2) = (z_1 - z_2)\bigl(1 + a(z_1 + z_2)\bigr)$ . فإذا كان $\abs a \leq \frac12$ : فمن أجل $z_1 \neq z_2$ في $\mathbb D$ ، $\abs{a(z_1 + z_2)} < 2\abs a \leq 1$ (أكيدًا: $\abs{z_1 + z_2} < 2$ )، ومنه لا يمكن أن ينعدم العامل الثاني: فهي متباينة، و $f \in \mathcal S$ (فالتعييرات مبنيّة فيها). وإذا كان $\abs a > \frac12$ : فللنقطة $s = -\frac1a$ الطويلةُ $\abs s < 2$ ، ومنه تقع $z_{1,2} = \frac s2 \pm \varepsilon$ في $\mathbb D$ من أجل $\varepsilon > 0$ صغيرة، وهما متمايزتان، ويلغي $z_1 + z_2 = s$ العاملَ: أي $f(z_1) = f(z_2)$ ، فليست متباينة. ومنه تحتوي $\mathcal S$ المقدارَ $z + az^2$ من أجل $\abs a \leq \frac12$ بالضبط. ومن ثَمّ فإن حدّ بيبرباخ $\abs{a_2} \leq 2$ غير مشبَع البتة بكثيرات الحدود من الدرجة $2$ — فمعاملات دالة كوبه $a_n = n$ تأتي من متسلسلة لانهائية تتآمر على امتداد نصف المستقيم المتجاهَل، وهو سلوك لا يستطيع أي كثير حدود (وهو لا ينتمي إلى $\mathcal S$ إلا بمعاملات ضئيلة) أن يحاكيه.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد