الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

13فضاءات هيلبرت

فضاء هيلبرت فضاءُ باناخ معيارُه آتٍ من جداء سلّمي — وهذا البناء الإضافي الوحيد يعيد، في البُعد اللانهائي، جُلّ الهندسة الإقليدية: فالإسقاطات المتعامدة موجودة، وكل مؤثّرة خطية متصلة هي جداء سلّمي بمتجهة ثابتة (ريس)، والأسس المتعامدة المتجانسة تنشر كل متجهة في متسلسلة متقاربة بمحاسبة فيثاغورية (بارسيفال). وذروة الفصل وفاءٌ بدَين: أن النظام المثلثي أساسٌ متعامد متجانس لفضاء $L^2$ ، ومنه تصح متطابقة بارسيفال من أجل كل دالة قابلة للمكاملة بالمربّع — وهي العبارة التي لم تستطع السنة الجامعية 2 أن تبرهن عليها إلا من أجل الدوال من الصنف $\mathcal C^1$ بالقطع. وننهي بلاكس–ميلغرام، المبرهنة المساعدة التي هي حصان المقاربة التغيّرية للمعادلات التفاضلية.

وفي كل ما يلي، يكون $H$ فضاءً متجهيًّا على $K = \R$ أو $\C$ .

13.1 الجداءات السلّمية؛ مبرهنة الإسقاط

تعريف 13.1

الجداء السلّمي هو تطبيق $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ ، خطي في المتغيّر الثاني، يحقق $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ و $\langle x, x\rangle > 0$ من أجل $x \neq 0$ . وهو يستحث المعيار $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ ، ومتراجحة كوشي–شوارتز $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (وبرهانها — بالمميِّز — في السنة الجامعية 2 لم يتغيّر)، وقاعدة متوازي الأضلاع

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

وفضاء هيلبرت هو فضاءٌ ذو جداء سلّمي تامٌّ بالنسبة إلى هذا المعيار. أمثلة: $\ell^2$ (المسألة 8.1)، والمثال الأساسي $L^2(\mu)$ مع $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — وهو تام بريس–فيشر (المبرهنة 12.4)؛ والجداء السلّمي منتهٍ بكوشي–شوارتز (أي هولدر عند $p = q = 2$ ).

مبرهنة 13.2 (الإسقاط على مجموعة محدّبة مغلقة)

لتكن $C \neq \varnothing$ جزءًا محدّبًا مغلقًا من فضاء هيلبرت $H$ وليكن $x \in H$ . توجد $p_C(x) \in C$ وحيدة تحقق

\norm{x - p_C(x)} = d(x, C),

ويميّزها الشرط: $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ من أجل كل $c \in C$ . والتطبيق $p_C$ ليبشيتزي بالثابت $1$ .

برهان. ليكن $d = d(x, C)$ ولتكن $(c_n) \subseteq C$ تحقق $\norm{x - c_n} \to d$ . وبقاعدة متوازي الأضلاع على $x - c_n$ و $x - c_m$ :

\norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2

(إذ يضع التحدّب المنتصف في $C$ ): فيؤول الطرف الأيمن إلى $0$ ، ومنه تكون $(c_n)$ كوشية، وتبلغ نهايتها $p \in C$ (بالإغلاق) المسافةَ $d$ . وأما الوحدانية: فمصغِّران يعطيان، بالمتطابقة نفسها، $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ .

وأما التمييز: فمن أجل $c \in C$ و $t \in \intoc01$ ، تكون المتجهة $p + t(c - p) \in C$ ، ومنه

d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ;

ثم نقسم ونجعل $t \to 0^+$ : $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$ . وبالعكس تعطي هذه المتراجحة أن $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$ . وأما الليبشيتزية: فمن أجل $x, y$ ذواتَي الإسقاطين $p, q$ ، نجمع المتراجحتين التغيّريتين (مع $c = q$ و $c = p$ على التوالي): $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$ ، ومنه $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$ . ∎

مبرهنة 13.3 (التفكيك المتعامد)

ليكن $F$ فضاءً جزئيًّا مغلقًا من $H$ . عندئذٍ يكون $p_F$ خطيًّا، و $x - p_F(x) \perp F$ من أجل كل $x$ ، و

H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F .

وأما من أجل فضاء جزئي عام، فإن $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ؛ وعلى وجه الخصوص يكون $F$ كثيفًا إذا وفقط إذا كان $F^\perp = \{0\}$ .

برهان. من أجل فضاء جزئي، يفرض التمييز التغيّري مع $c = p_F(x) \pm f$ (حيث $f \in F$ ، بالإشارتين، ومع $\iu f$ في الحالة العقدية) أن $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$ : أي إن الباقي متعامد مع $F$ . والتفكيك $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ مع $F \cap F^\perp = \{0\}$ ( $\langle y, y \rangle = 0$ )؛ وتنتج خطية $p_F$ من وحدانية هذه التفكيكات (إذ الطرفان خطيان فيها). ويصح $(F^\perp) ^\perp \supseteq F$ دائمًا؛ وبالعكس إذا كان $x \perp F^\perp$ ، كتبنا $x = f + g$ : فيكون $g = x - f \in F^\perp$ و $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$ : ومنه $x = f \in F$ . وأما من أجل فضاء جزئي عام $F$ : فإن $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ (باتصال الجداء السلّمي)، ومنه $(F^\perp)^\perp = \bar F$ بالحالة المغلقة؛ والكثافة تكافئ $\bar F = H$ التي تكافئ $F^\perp = 0$ . ∎

مبرهنة 13.4 (تمثيل ريس)

من أجل كل مؤثّرة خطية متصلة $\varphi \in H'$ يوجد $a \in H$ وحيد يحقق

\varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a .

برهان. إذا كان $\varphi = 0$ : فإن $a = 0$ . وإلا فإن $F = \ker\varphi$ فضاء جزئي مغلق فعلي؛ نختار $u \in F^\perp$ يحقق $\norm u = 1$ (المبرهنة 13.3: إذ $F^\perp \neq 0$ لأن $F \neq H$ ). ومن أجل أي $x$ ، تكون المتجهة $\varphi(x)u - \varphi(u)x \in \ker\varphi$ ، ومنه فهي $\perp u$ :

0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle .

ومنه تصلح $a = \overline{\varphi(u)}u$ . وأما الوحدانية: فمن $\langle a - a', x\rangle = 0$ من أجل كل $x$ ، باختبار $x = a - a'$ . وأما النظائم: فإن $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (بكوشي–شوارتز) مع التساوي عند $x = a$ . ∎

مثال 13.5 (إسقاط، محسوبٌ حتى النهاية)

في $H = L^2(\intcc01)$ ، ما أفضل تقريب للدالة $f(x) = x^2$ بدالة تآلفية؟ الفضاء الجزئي $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ مغلق (لأنه منتهي البُعد)، وتميّز $p_F(f) = a + bx$ بتعامد الباقي مع $1$ ومع $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

أي $\frac13 = a + \frac b2$ و $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : ومنه $a = -\frac16$ و $b = 1$ . فيكون $p_F(x^2) = x - \frac16$ ، ويكون الخطأ

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

وملاحظتان جديرتان بالاستيعاب. أولًا، ليس الحساب سوى جملة خطية من الرتبة $2\times2$ — أي المعادلات الناظمية؛ ومن أجل أساس الوحيدات الحدّية تكون مصفوفتها $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ هي مصفوفة هيلبرت السيّئة التكييف بشهرتها، والعلاج هو التعامد أولًا (كثيرات حدود لوجاندر، المسألة 13.1). وثانيًا، أفضل تقريب منتظم للمقدار $x^2$ بالدوال التآلفية مختلفٌ ( $x - \frac18$ ، بالتذبذب المتساوي): فلكل معيار هندسته، ولا يجيب بجملة خطية إلا المعيار الهيلبرتي.

13.2 الأسس المتعامدة المتجانسة

تعريف 13.6

تكون العائلة $(e_i)_{i\in I}$ متعامدة متجانسة إذا كان $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$ ، وتكون أساسًا هيلبرتيًّا (أي أساسًا متعامدًا متجانسًا) إذا كانت فوق ذلك تركيباتها الخطية المنتهية كثيفةً في $H$ (أي إن العائلة شاملة). ونعالج الحالة القابلة للعدّ $I = \N$ ، وهي تغطي بغرام–شميدت كل فضاء $H$ قابل للفصل (القضية 13.8).

مبرهنة 13.7 (بسل، بارسيفال)

لتكن $(e_n)_{n\in\N}$ متعامدة متجانسة في $H$ ، ولتكن $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$ .

(بسل) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ ، وتتقارب المتسلسلة $\sum_nc_n(x)e_n$ في $H$ ، ومجموعها $p_F(x)$ ، حيث $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ .
وتتكافأ العبارات التالية: (أ) إن $(e_n)$ أساس هيلبرتي؛ (ب) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ من أجل كل $x$ ؛ (ج) بارسيفال: $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ من أجل كل $x$ ؛ (د) المتجهة الوحيدة المتعامدة مع جميع $e_n$ هي $0$ .
وإذا كانت $(e_n)$ أساسًا هيلبرتيًّا، فإن $x \mapsto (c_n(x))_n$ تماثلٌ متقايس $H \to \ell^2$ (أي إن كل فضاء هيلبرت لانهائي البُعد قابل للفصل «هو» $\ell^2$ )، و $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ .

برهان. (1) من أجل $N$ منتهٍ: $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ( $k \leq N$ )، ومنه تعطي فيثاغورس أن $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ : وهي بسل. والمجاميع الجزئية $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ كوشية: $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M<n\leq N}\abs{c_n}^2$ ، وهو ذيل متسلسلة متقاربة؛ وتقع النهاية في $F$ ، وتكون $x - \lim S_N \perp$ كل $e_k$ (بالاتصال)، ومنه فهي $\perp F$ : فبوحدانية التفكيك المتعامد، $\lim S_N = p_F(x)$ .

(2) (أ) $\Rightarrow$ (ب): لأن $F = H$ ، ومنه $p_F = \mathrm{id}$ . (ب) $\Rightarrow$ (ج): بفيثاغورس عند النهاية ( $\norm{S_N}^2 = \sum_{n \leq N}\abs{c_n}^2 \to \norm x^2$ ). (ج) $\Rightarrow$ (د): فمن $x \perp$ جميع $e_n$ نجد $\norm x^2 = 0$ . (د) $\Rightarrow$ (أ): $F^\perp = \{0\}$ (إذ التعامد مع جميع $e_n$ هو التعامد مع $F$ )، ومنه يكون $F$ كثيفًا حسب المبرهنة 13.3؛ لكن $F$ غلقٌ، فهو مغلق أصلًا: ومنه $F = H$ .

(3) التطبيق خطي، ومتقايس حسب (ج) (ومنه فهو متباين)، وغامر: إذ بإعطاء $(c_n) \in \ell^2$ تتقارب المتسلسلة $\sum c_ne_n$ (وهي كوشية كما في (1)) إلى صورة عكسية. وأما صيغة الجداء السلّمي فهي الاستقطاب انطلاقًا من (ج)، أو حسابٌ مباشر بالنهاية. ∎

قضية 13.8 (غرام–شميدت)

لتكن $(x_n)$ متتالية مستقلة خطيًّا. فبالوضع بالتراجع $\tilde e_n = x_n - \sum_{k<n}\langle e_k, x_n\rangle e_k$ و $e_n = \tilde e_n/\norm{\tilde e_n}$ نحصل على عائلة متعامدة متجانسة $(e_n)$ لها الفضاءات المولَّدة المنتهية نفسها: $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n) = \operatorname{Vect} (x_1, \dots, x_n)$ . ومن ثَمّ فلكل فضاء هيلبرت قابل للفصل (أي ذي جزء كثيف قابل للعدّ) أساسٌ هيلبرتي.

برهان. بالتراجع: $\tilde e_n \perp e_k$ (حيث $k < n$ ) بحكم البناء، و $\tilde e_n \neq 0$ بالاستقلال؛ وتتوافق الفضاءات المولَّدة في كل مرحلة (بتغيير أساس مثلثي). وأما من أجل $H$ قابل للفصل: فمن متتالية كثيفة نستخرج عائلةً جزئية مستقلة خطيًّا ذات فضاء مولَّد كثيف (بطرح كل متجهة تقع في الفضاء المولَّد بسابقاتها — والفضاء المولَّد لا يتغيّر)، ثم نعامدها: فتكون النتيجة شاملة. ∎

مبرهنة 13.9 (النظام المثلثي؛ بارسيفال أخيرًا)

في $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ مع $\langle f, g\rangle = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bar fg$ ، تكون العائلة $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ ، حيث $n \in \Z$ ، أساسًا هيلبرتيًّا. ومن ثَمّ، من أجل كل $f \in L^2$ — وعلى وجه الخصوص كل دالة متصلة بالقطع دورية بالدور $2\pi$ — ومع $c_n(f) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\eu^{-\iu nt}\dd t$ :

f = \sum_{n\in\Z}c_n(f)\,\eu^{\iu nt} \ \ \text{في} L^2, \qquad \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs f^2 = \sum_{n\in\Z}\abs{c_n(f)}^2 .

وهذا يبرهن، في عموم تام، على متطابقة بارسيفال التي سلّمت بها السنة الجامعية 2.

برهان. التعامد والتجانس حسابٌ مباشر (السنة الجامعية 2). وأما الشمول: فلتكن $f \in L^2$ تحقق $\perp$ جميع $e_n$ ، أي أن تنعدم جميع معاملات فورييه لها. والدوال المتصلة الدورية بالدور $2\pi$ كثيفة في $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ : إذ $\mathcal C_c(\intoo{-\pi}\pi)$ كثيفة (المبرهنة 12.6(2)) وتمتدّ هذه الدوال دوريًّا واتصاليًّا. وكثيرات الحدود المثلثية كثيفة بالمعنى $\norm\cdot_\infty$ بين الدوال المتصلة الدورية (بستون–فايرشتراس، النتيجة 7.16(c))، و $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ : ومنه فكثيرات الحدود المثلثية كثيفة في $L^2$ . لكن $f \perp$ كل كثير حدود مثلثي، ومنه $f \perp$ فضاء جزئي كثيف: أي $f \in (\text{كثيف})^\perp = \{0\}$ (المبرهنة 13.3). ويخلص المحك (د) من المبرهنة 13.7 إلى النتيجة؛ ويُفكّ المحكان (ب) و (ج) إلى العبارة المعروضة (بإعادة ترقيم المجموعة القابلة للعدّ $\Z$ ؛ والمتسلسلة ذات الطرفين تتقارب تقاربًا غير مشروط — إذ تتقارب المجاميع الجزئية على أي عائلة مستنفدة، بحجة الذيل في $\ell^2$ ). ∎

مبرهنة 13.10 (لاكس–ميلغرام)

ليكن $H$ فضاء هيلبرت حقيقيًّا ولتكن $a \colon H\times H \to \R$ ثنائية الخطية ومتصلة ( $\abs{a(u,v)} \leq M\norm u\norm v$ ) وقسرية ( $a(u, u) \geq \alpha\norm u^2$ ، حيث $\alpha > 0$ ). عندئذٍ يوجد من أجل كل $\varphi \in H'$ عنصرٌ وحيد $u \in H$ يحقق

a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{من أجل كل} v \in H .

برهان. من أجل $u$ مثبَّتة، تكون $v \mapsto a(u, v)$ خطيةً متصلة: فيعطي ريس عنصرًا وحيدًا $Au \in H$ يحقق $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$ ؛ و $A$ خطي مع $\norm{Au} \leq M\norm u$ (بوحدانية الممثِّلات، ثم بالحد). وأما القسرية: فإن $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$ ، ومنه $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$ : أي إن $A$ متباين ومجاله مغلق (إذ متتالية صور كوشية $Au_n$ تفرض أن تكون $u_n$ كوشية). والمجال كثيف: إذ يعطي $w \perp \operatorname{im}A$ أن $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$ . ومغلق وكثيف: ومنه فإن $A$ تقابل. وبإعطاء $\varphi$ ، ليكن $f$ ممثِّله (بريس) وليكن $u = A^{-1}f$ : فيكون $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$ ، وبكيفية وحيدة ( $a(u - u', \cdot) = 0$ والقسرية). ∎

ملاحظة 13.11

حين تكون $a$ متناظرة، يكون حل لاكس–ميلغرام هو المصغِّر الوحيد لمقدار الطاقة $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ (التمرين 13.9): أي وجود حلول للمسائل التغيّرية بضربة واحدة. وبتطبيق ذلك على فضاءات دوال ملائمة (أي فضاءات سوبوليف في مقرر لاحق)، تُحلّ مسائل الشروط الحدّية للمعادلات التفاضلية — وهو المدخل الحديث إلى المعادلات التفاضلية الجزئية.

13.3 تمارين

تمرين 13.1 ★

(a) برهن على متطابقات الاستقطاب (في الحالة الحقيقية: $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$ ؛ وفي العقدية: الصيغة ذات الحدود الأربعة). (b) برهن على أن $\norm\cdot_1$ على $L^1(\intcc01)$ و $\norm\cdot_\infty$ على $\mathcal C(\intcc01)$ تخرقان قاعدة متوازي الأضلاع: فهذان المعياران لا يأتيان من أي جداء سلّمي.

حل

حل التمرين 13.1.

(a) في الحالة الحقيقية: ننشر $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ ونطرح. وفي الحالة العقدية (إذ الجداء السلّمي خطي في الخانة الثانية): بالنشر كما سبق،

\langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2,

ويسهم كل حدّ بالمقدار $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$ ، ومجموعه $4\langle x,y\rangle$ (تحقق من قيم $k$ الأربع؛ فالمقدار $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$ ).

(b) في $L^1$ : $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ ، $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : فيكون $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ لكلٍّ، ومجموعهما $2$ ؛ بينما $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$ . وفي معيار السوپريموم: $f = \mathbf 1$ ، و $g(t) = t$ على $\intcc01$ : $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$ . وبإخفاق قاعدة متوازي الأضلاع، لا يستحث هذين المعيارين أي جداء سلّمي (إذ كان سيفرضها بالنشر المباشر).

تمرين 13.2 ★

في $H = L^2(\intcc01)$ (الحقيقي): (a) احسب إسقاط $f$ على فضاء الدوال الثابتة، وفسّر؛ (b) احسب الإسقاط على $\{g : g = 0 \text{ في كل مكان تقريبًا على} \intcc0{1/2}\}$ ؛ (c) احسب $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$ .

حل

حل التمرين 13.2.

(a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$ : فبالفعل $f - \int f \perp$ الثوابت ( $\int(f - \int f)c = 0$ ). فأفضل تقريب ثابت للدالة $f$ بالمعنى التربيعي المتوسط هو متوسطها — وهي الحالة الأولى للأمل الشرطي (الفصل 22).

(b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : إذ الفرق $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ متعامد مع كل $g$ تنعدم على $\intcc0{1/2}$ .

تمرين 13.3 ★★

(a) برهن على أنه من أجل فضاء جزئي $F$ : يكون $F$ كثيفًا $\iff$ $F^\perp = \{0\}$ ، وأعطِ مثالًا في $\ell^2$ على فضاء جزئي فعلي كثيف (بحيث $F^\perp = 0$ دون $F = H$ : فمبرهنة التفكيك تحتاج فعلًا إلى $F$ مغلقًا). (b) برهن على أنه إذا كان $x_n \to x$ و $y_n \to y$ بالمعيار، فإن $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$ ، وعيّن موضعين استعمل فيهما الفصل هذا الاتصال.

حل

حل التمرين 13.3.

(a) التكافؤ هو المبرهنة 13.3 ( $\bar F = (F^\perp)^\perp$ ، و $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$ ). ومثالٌ: فضاء المتتاليات المنتهية $F$ كثيف في $\ell^2$ (بالبتر) وفعلي: $F^\perp = \{0\}$ ومع ذلك $F \neq \ell^2$ — فمن أجل فضاء جزئي غير مغلق، يخفق $H = F \oplus F^\perp$ إخفاقًا صارخًا ( $F \oplus \{0\} \neq H$ ).

(b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (لأن المتتاليات المتقاربة محدودة). واستُعمل ذلك: في المبرهنة 13.7(1) لنرى أن $x - \lim S_N \perp e_k$ ، وفي المبرهنة 13.3 لنرى أن $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ .

تمرين 13.4 ★★

طبّق غرام–شميدت على $1, x, x^2$ في $L^2(\intcc{-1}1)$ (بقياس لوبيغ): لتحصل على كثيرات حدود لوجاندر المعيَّرة الثلاثة الأولى، وتحقق من أنها توافق $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ من أجل كثيرات حدود رودريغ $P_n$ في المسألة 13.1.

حل

حل التمرين 13.4.

$e_0 = \frac1{\sqrt2}$ . ثم إن $x \perp \mathbf 1$ أصلًا ( $\int_{-1}^1x = 0$ )، و $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$ : $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$ . ثم $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (وهي $\perp e_1$ بالتماثل)، مع

\int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr).

وأما المقارنة: فإن $P_0 = 1$ و $P_1 = x$ و $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$ ، ويعطي $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ المقدارَ $\frac1{\sqrt2}$ ، و $\sqrt{\frac32}x$ ، و $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$ : أي $e_0, e_1, e_2$ بالضبط.

تمرين 13.5 ★★

طبّق بارسيفال (المبرهنة 13.9) على $f(t) = t$ و $f(t) = t^2$ على $\intcc{-\pi}\pi$ — وهو الآن مشروع من أجلهما (فهما متصلتان، غير أن المتطابقة كانت تتطلب سابقًا عنايةً من الصنف $\mathcal C^1$ بالقطع عند انقطاع الالتفاف الدوري): لتستعيد

\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} .

حل

حل التمرين 13.5.

من أجل $f(t) = t$ : يكون $c_0 = 0$ ، وبالمكاملة بالتجزئة $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ من أجل $n \neq 0$ : $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$ . وببارسيفال:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

ومن أجل $f(t) = t^2$ : $c_0 = \frac{\pi^2}3$ ، $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ (حيث $n \ne 0$ ). وببارسيفال:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} .

ولا حاجة إلى أي تحفّظات من الصنف $\mathcal C^1$ بالقطع: إذ تغطي المبرهنة 13.9 كل دالة من $L^2$ .

تمرين 13.6 ★★

(a) جد $a \in L^2(\intcc01)$ تحقق $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ من أجل كل $f$ ؛ واحسب $\norm\varphi$ لهذه المؤثّرة. (b) برهن على أن التقييم $f \mapsto f(\frac12)$ ، المعرَّف على الفضاء الجزئي $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$ ، غير متصل بالنسبة إلى $\norm\cdot_2$ : فلا يوجد أي ممثِّل بمعنى ريس (إذ التقييم ليس مفهومًا من مفاهيم $L^2$ ).

حل

حل التمرين 13.6.

(a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$ : فالممثِّل هو $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ ، و $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ (المبرهنة 13.4).

(b) نأخذ دوال الخيمة $f_n$ ذات الذروة $1$ عند $\frac12$ والحامل ذي العرض $\frac2n$ : فيكون $f_n(\tfrac12) = 1$ بينما $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$ : ومنه لا يوجد أي ثابت $C$ يعطي $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$ . فتقييم النقطة عديم المعنى في $L^2$ — إذ العناصر أصناف بترديد المجموعات المعدومة — وهذا الحساب هو السبب الكمّي لذلك.

تمرين 13.7 ★★★

ليكن $H$ قابلًا للفصل ذا أساس هيلبرتي $(e_n)$ ، ولتكن $(x_k)$ متتالية محدودة. (a) برهن على أن متتالية جزئية ما تتقارب تقاربًا ضعيفًا: أي يوجد $x$ يحقق $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ من أجل كل $y \in H$ . (بالاستخراج القطري على المعاملات $\langle e_n, x_k\rangle$ ؛ ثم ركّب $x$ بواسطة بسل والحد المنتظم للنظائم.) (b) برهن على أن $e_n \rightharpoonup 0$ بينما $\norm{e_n} = 1$ : فالنهايات الضعيفة قد تفقد المعيار. وبرهن على $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ في (a).

حل

حل التمرين 13.7.

(a) ليكن $M = \sup_k\norm{x_k}$ . المتتاليات السلّمية $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ محدودة بالعدد $M$ : فيعطي استخراج قطري متتالية $x_{k_j}$ تحقق $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ من أجل كل $n$ . ومن أجل كل $N$ : $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (ببسل)، ومنه $(\gamma_n) \in \ell^2$ و $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ (المبرهنة 13.7(3)). ومن أجل $y \in H$ :

\abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2},

باستعمال النشر $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ وكوشي–شوارتز على الذيل؛ ثم نختار $N$ ثم $j$ : فيكون التقارب الضعيف إلى $x$ .

(b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ من أجل كل $y$ (بذيول $\ell^2$ ): أي $e_n \rightharpoonup 0$ ، ومع ذلك $\norm{e_n} = 1$ : فالمعيار ليس متصلًا بالمعنى الضعيف. وفي (a): $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (بالمقاطع المنتهية وببسل مرة أخرى): أي إن النهايات الضعيفة لا يمكنها إلا أن تفقد معيارًا.

تمرين 13.8 ★★

(المرافقات) من أجل $T \in \mathcal L(H)$ ، برهن على وجود $T^* \in \mathcal L(H)$ وحيد يحقق $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (بريس)، وعلى $\vertiii{T^*} = \vertiii T$ . واحسب مرافق الإزاحة $S$ على $\ell^2$ ، وبرهن على $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — واستنتج $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

حل

حل التمرين 13.8.

من أجل $y$ مثبَّتة، تكون $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ مؤثّرةً خطية متصلة؛ ويعطي ريس عنصرًا وحيدًا $T^*y$ يحقق $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ من أجل كل $x$ — وبالمرافقة، $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ . وتجعل الوحدانية $T^*$ خطيًّا؛ و

\norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y,

ومنه $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$ ، ويعطي $T^{**} = T$ التساوي. وأما الإزاحة: فإن $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ مع $(S^*y)_n = y_{n+1}$ : أي الإزاحة إلى الخلف. وأما النواة والصورة: فيكون $T^*y = 0$ إذا وفقط إذا كان $\langle x, T^*y\rangle = 0$ من أجل كل $x$ ، إذا وفقط إذا كان $\langle Tx, y\rangle = 0$ من أجل كل $x$ ، إذا وفقط إذا كان $y \perp \operatorname{im}T$ : ومنه $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ ؛ وبأخذ $\perp$ واستعمال المبرهنة 13.3، $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

تمرين 13.9 ★★

لتكن $a$ كما في لاكس–ميلغرام وفوق ذلك متناظرة. برهن على أن $u$ تحل $a(u, \cdot) = \varphi$ إذا وفقط إذا كانت $u$ تصغّر $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$ ، وعلى أن الأصغرية مبلوغة عند نقطة واحدة بالضبط. (بإكمال المربّع: $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$ .) وتطبيقٌ: استنبط مبرهنة الإسقاط من أجل الفضاءات الجزئية المغلقة من لاكس–ميلغرام.

حل

حل التمرين 13.9.

إذا كان $a(u, \cdot) = \varphi$ : فمن أجل أي $w$ ،

J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2,

وهو موجب تمامًا من أجل $w \neq 0$ : ومنه $u$ هي المصغِّر الوحيد. وبالعكس، عند مصغِّر تكون للدالة $t \mapsto J(u + tw)$ (وهي كثير حدود من الدرجة الثانية في $t$ ) مشتقةٌ منعدمة عند $0$ : أي $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ من أجل كل $w$ . وأما استنباط الإسقاط: فمن أجل فضاء جزئي مغلق $F$ ، نطبّق لاكس–ميلغرام على فضاء هيلبرت $F$ مع $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ (حيث $M = \alpha = 1$ ) و $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$ : فنجد $p \in F$ وحيدًا يحقق $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ من أجل كل $v \in F$ ، أي $x - p \perp F$ — وبالحالة المتناظرة، تصغّر $p$ المقدارَ $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ على $F$ : أي الإسقاط.

تمرين 13.10 ★★★

(نظام هار) على $\intcc01$ ، لتكن $h_{0} = \mathbf 1$ ، ومن أجل $n = 2^j + k$ (حيث $j \geq 0$ و $0 \leq k < 2^j$ ):

h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr).

برهن على أن $(h_n)_{n\geq0}$ متعامدة متجانسة في $L^2(\intcc01)$ ، وشاملة. (التعامد: بحوامل منفصلة أو متداخلة؛ والشمول: تحتوي الفضاءات المولَّدة المنتهية جميعَ الدوال السلّمية الثنائية، وهي كثيفة — عبر المبرهنة 12.6(1) والتقريب الثنائي للفترات.) ونظام هار سلفُ المويجات.

حل

حل التمرين 13.10.

أما التعيير: $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$ . وأما التعامد: فلدالتَي هار متمايزتين إما حاملان منفصلان (داخلًا) (فيكون الجداء معدومًا في كل مكان تقريبًا)، وإما أن يكون حامل الأدق محتوًى في نصف فترة تكون فيه الأخشن ثابتة — عندئذٍ يكون تكامل الجداء تلك الثابتةَ مضروبةً في $\int h_{\text{الأدق}} = 0$ ؛ ومقابل $h_0 = \mathbf 1$ ، يكون $\int h_n = 0$ مرة أخرى. وأما الشمول: فالفضاء المولَّد بالعائلة $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ مؤلَّف من الدوال السلّمية على الشبكة الثنائية ذات الخطوة $2^{-J}$ ؛ وللفضاءين البُعد $2^J$ نفسه ودوال هار مستقلة (لأنها متعامدة متجانسة): ومنه فإن الفضاء المولَّد هو جميع هذه الدوال السلّمية. والدوال السلّمية الثنائية كثيفة في $L^2(\intcc01)$ : إذ الدوال البسيطة كثيفة (المبرهنة 12.6(1))، وتُقرَّب المجموعات القابلة للقياس باتحادات منتهية لفترات (التمرين 9.7)، وتُقرَّب الفترات بفترات ثنائية (إذ تتحرك الأطراف بمقدار $\leq 2^{-J}$ ). وحسب المبرهنة 13.7، يكون نظام هار أساسًا هيلبرتيًّا.

تمرين 13.11 ★★

(الإسقاطات المتعامدة، مميَّزةً) ليكن $H$ فضاء هيلبرت وليكن $P \in \mathcal L(H)$ يحقق $P^2 = P$ و $P \neq 0$ . برهن على تكافؤ: (أ) أن $P$ هو الإسقاط المتعامد على $\operatorname{im}P$ ؛ (ب) أن $P = P^*$ (التمرين 13.8)؛ (ج) أن $\vertiii P = 1$ . ((ج) $\Rightarrow$ (أ): إذا كانت $x \in (\ker P)^\perp$ ما تحقق $Px \neq x$ ، فلننظر في $x + t(Px - x)$ — أو مباشرةً: من أجل $u \in \operatorname{im}P$ و $v \in \ker P$ ، انشر $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ من أجل كل $t \in \R$ واخلص إلى $\langle u, v\rangle = 0$ .) وأبرز إسقاطًا غير متعامد على $\R^2$ واحسب معياره.

حل

حل التمرين 13.11.

(أ) $\Rightarrow$ (ب): من أجل الإسقاط المتعامد، $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (بإدخال التفكيكين $x = Px + (x - Px)$ وما إليهما وإلغاء الحدود المتقاطعة). (ب) $\Rightarrow$ (ج): $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$ ، ومنه $\vertiii P \leq 1$ ، ويكون $Pu = u$ على الصورة غير المعدومة: أي $= 1$ . (ج) $\Rightarrow$ (أ): $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ (جبريًّا، انطلاقًا من $P^2 = P$ )؛ نأخذ $u = Pu \in \operatorname{im}P$ و $v \in \ker P$ و $t \in \R$ : فيجب أن يكون $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ أصغر من أو يساوي $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ من أجل كل $t$ ، وهذا يفرض $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ (بمقارنة الحدود الخطية حين $t \to 0^\pm$ )؛ وباستبدال $\iu v$ بالمتجهة $v$ ينعدم الجزء التخيّلي أيضًا: أي $\operatorname{im}P \perp \ker P$ ، وهو بالضبط تعامد الإسقاط. ومثالٌ: $P(x, y) = (x + y, 0)$ على $\R^2$ : فإن $P^2 = P$ ، وصورته محور السينات، ونواته المستقيم $y = -x$ ، و $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (وهو مبلوغ عند $(1,1)/\sqrt2$ ): فللإسقاط المائل معيارٌ $> 1$ . (وللتسجيل، تعطي (ب) أيضًا (أ) مباشرةً: $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ حسب التمرين 13.8.)

تمرين 13.12 ★★★

(مبرهنة فون نويمان الإرغودية) ليكن $U \in \mathcal L(H)$ واحديًّا ( $U^*U = UU^* = I$ )، وليكن $F = \ker(U - I)$ فضاء النقاط الصامدة، وليكن $P$ الإسقاط المتعامد على $F$ ، ولتكن $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$ . (a) برهن على $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ (انطلاقًا من $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ ومن الواحدية)، واستنتج $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$ . (b) برهن على أن $A_nx \to x$ من أجل $x \in F$ ، وأن $A_nx \to 0$ من أجل $x \in \operatorname{im}(U - I)$ (بالتلسكب)، ثم من أجل $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (بالحد المنتظم $\vertiii{A_n} \leq 1$ ). (c) اخلص: أن $A_nx \to Px$ من أجل كل $x \in H$ — أي إن المتوسطات الزمنية تتقارب إلى الإسقاط على الصوامد. (d) وفصّل ذلك من أجل $H = L^2(\R/\Z)$ و $Uf = f(\cdot + \alpha)$ حيث $\alpha$ غير ناطق: عيّن $F$ (باستعمال متسلسلات فورييه، المبرهنة 13.9) واستنتج أن $\frac1n\sum_{k<n}f(x + k\alpha) \to \int_0^1f$ في $L^2$ : أي التوزّع المتساوي بالمعنى $L^2$ للدورانات غير الناطقة.

حل

حل التمرين 13.12.

(a) من أجل $U$ واحدي: $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ و $\norm{U^*x - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle x, Ux\rangle$ : فينعدم المقداران معًا، ومنه $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ . ثم، باستعمال $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ (التمرين 13.8) مع $T = U - I$ و $T^* = U^* - I$ :

\overline{\operatorname{im}(U - I)} = \bigl(\ker(U^* - I)\bigr)^\perp = F^\perp .

(b) على $F$ : يكون $U^kx = x$ ، ومنه $A_nx = x$ . ومن أجل $x = (U - I)y$ : $A_nx = \frac1n(U^ny - y)$ ، ومعياره $\leq \frac2n\norm y \to 0$ . ومن أجل $x$ في الغلق: بإعطاء $\varepsilon$ ، نختار $x' = (U - I)y$ يحقق $\norm{x - x'} < \varepsilon$ ؛ وبما أن $\vertiii{A_n} \leq \frac1n\sum\vertiii{U^k} = 1$ ، فإن $\norm{A_nx} \leq \norm{A_n(x - x')} + \norm{A_nx'} \leq \varepsilon + o(1)$ .

(c) نفكّك $x = Px + (x - Px)$ حيث $Px \in F$ و $x - Px \in F^\perp = \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (الجزء (a)): ومنه $A_nx = Px + A_n(x - Px) \to Px + 0$ .

(d) في أساس فورييه $e_m(x) = \eu^{2\iu\pi mx}$ : $Ue_m = \eu^{2\iu\pi m\alpha}e_m$ ، ومنه $Ue_m = e_m$ إذا وفقط إذا كان $m\alpha \in \Z$ ، إذا وفقط إذا كان $m = 0$ (لأن $\alpha$ غير ناطق): $F = \C\mathbf 1$ و $Pf = \langle\mathbf 1, f\rangle\mathbf 1 = \int_0^1f$ . وتقرأ المبرهنة $\frac1n\sum_{k<n}f(\cdot + k\alpha) \to \int_0^1f$ في $L^2(\R/\Z)$ : أي إن متوسطات مدار دوران غير ناطق تتوزّع بالتساوي — وهو ظل مبرهنة فايل في التوزّع المتساوي بالمعنى $L^2$ ، محصَّلًا عليه بهندسة هيلبرتية محضة.

13.4 مسألة: كثيرات الحدود المتعامدة

مسألة 13.1

مسألة نهاية الأسبوع — لوجاندر وإرميت والتربيع الغاوسي

لتكن $I \subseteq \R$ فترةً وليكن $w > 0$ وزنًا متصلًا على داخل $I$ بحيث يكون $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ من أجل كل $n$ ؛ ونعمل في $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ مع $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$ . ويعطي غرام–شميدت مطبَّقًا على $1, t, t^2, \dots$ كثيرات الحدود المتعامدة $(p_n)$ الموافقة للوزن $w$ (بالتعيير الموحَّد: $p_n = t^n + \cdots$ ).

الجزء الأول — النظرية العامة.

برهن على أن $p_n$ متعامد مع كل كثير حدود درجته $< n$ ، وعلى أن $(p_0, \dots, p_n)$ أساسٌ للفضاء $\R_n[t]$ .
(العلاقة التراجعية ذات الحدود الثلاثة) برهن على وجود أعداد حقيقية $a_n, b_n$ تحقق

$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$

(انشر $t\,p_n$ في الأساس $(p_k)_{k \leq n+1}$ وألغِ المعاملات بالتعامد، مستعملًا $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$ .)
(الجذور) برهن على أن لكثير الحدود $p_n$ عددًا $n$ من الجذور المتمايزة، وكلها داخلية في $I$ . (لتكن $t_1 < \dots < t_m$ تغيّرات الإشارة الداخلية للمقدار $p_n$ ؛ فإذا كان $m < n$ ، اختبر $p_n$ مقابل $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ وناقض التعامد.)

الجزء الثاني — لوجاندر ( $I = \intcc{-1}1$ ، $w = 1$ ). نعرّف $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (رودريغ).

برهن على أن $\deg P_n = n$ بمعامل رئيسي $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ ، وعلى أن $\langle P_n, Q\rangle = 0$ من أجل كل كثير حدود $Q$ درجته $< n$ ، وذلك بالمكاملة بالتجزئة $n$ مرة: فتكون $P_n$ (إلى غاية التعيير) كثيرات الحدود المتعامدة الموافقة للوزن $w = 1$ .
احسب $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ (بالمكاملة بالتجزئة $n$ مرة مقابل نفسه ثم الإرجاع إلى تكامل بيتا أو واليس، التمرين 11.8).
برهن على أن كثيرات حدود لوجاندر المعيَّرة تشكّل أساسًا هيلبرتيًّا للفضاء $L^2(\intcc{-1}1)$ (بفايرشتراس، النتيجة 7.16، مع كثافة $\mathcal C$ في $L^2$ )، وانشر $f(t) = \abs t$ حتى الدرجة $2$ : أي احسب أفضل تقريب تربيعي بالمعنى $L^2$ للمقدار $\abs t$ .

الجزء الثالث — إرميت ( $I = \R$ ، $w(t) = \eu^{-t^2}$ ). نعرّف $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ .

برهن على أن $H_n$ كثير حدود درجته $n$ بمعامل رئيسي $2^n$ ، وعلى أن $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ، وعلى أن $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn!\sqrt\pi$ (بالتجزئة مرة أخرى).
برهن على أن عائلة إرميت شاملة في $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ ، مسلِّمًا بنتيجة واحدة من الفصل 14: أنه إذا كانت $g \in L^1(\R)$ تحقق $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ من أجل كل $\xi$ ، فإن $g = 0$ في كل مكان تقريبًا. (من أجل $f \perp$ جميع $H_n$ ، أي $\perp$ جميع كثيرات الحدود: برهن على أن $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ معرَّف جيدًا، وانشر الأُسّي في متسلسلة، وبرّر التبديل بالهيمنة، واخلص إلى أن تحويل فورييه للمقدار $f\eu^{-t^2}$ منعدم.)

الجزء الرابع — التربيع الغاوسي. نثبّت $n$ ، ولتكن $t_1 < \dots < t_n$ جذور $p_n$ (الجزء الأول)، ونعرّف الأوزان $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$ حيث $\ell_i$ كثيرات حدود أساس استيفاء لاغرانج عند النقاط $t_i$ .

برهن على أن قاعدة التربيع $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ مضبوطة على كل كثيرات الحدود التي درجتها $\leq n - 1$ (بالاستيفاء)، بل — وهذه هي المعجزة — على كل كثيرات الحدود التي درجتها $\leq 2n - 1$ : اكتب $P = qp_n + r$ واستعمل التعامد على خارج القسمة $q$ .
برهن على أن الأوزان موجبة (بتطبيق القاعدة على $\ell_i^2$ ، ودرجته $2n - 2$ )، واستنتج من مبرهنة بوليا (التمرين 8.9) أن التربيع الغاوسي يتقارب: $Q_n(f) \to \int_I fw$ من أجل كل دالة متصلة $f$ على $I$ متراص.
من أجل $n = 2$ و $I = \intcc{-1}1$ و $w = 1$ : احسب العقدتين $\pm\frac1{\sqrt3}$ والوزنين $1, 1$ ، وتحقق يدويًّا من الضبط على $1, t, t^2, t^3$ . وقارن بقاعدة شبه المنحرف على نقطتَي التقييم نفسيهما.

الجزء الخامس — تشيبيشيف: كثيرات الحدود الأفضل تذبذبًا. والآن $I = \intcc{-1}1$ و $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$ .

برهن على أن $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ يعرّف كثير حدود $T_n$ درجته $n$ (بإثبات $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ من متطابقة مثلثية)، بمعامل رئيسي $2^{n-1}$ من أجل $n \geq 1$ ؛ وعلى أن التعويض $t = \cos\theta$ يعطي

$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$

فتكون $T_n$ كثيرات الحدود المتعامدة الموافقة لهذا الوزن، وتكون نشرات تشيبيشيف هي متسلسلات فورييه الجيبتمامية متنكّرة.
عيّن صراحةً الجذور $n$ $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ والقيم القصوى $n + 1$ $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ للمقدار $T_n$ على $\intcc{-1}1$ ، حيث $T_n(s_j) = (-1)^j$ : فالمنحني البياني يتذبذب بالتساوي بين $\pm1$ .
(الأصغري الأعظمي) برهن على أنه من بين كل كثيرات الحدود الموحَّدة من الدرجة $n$ ، يملك كثير الحدود $2^{1-n}T_n$ أصغر معيار سوپريموم على $\intcc{-1}1$ ، وهو $2^{1-n}$ — وهو المصغِّر الوحيد. (فلو كان لكثير حدود موحَّد $P$ أن يحقق $\sup\abs P < 2^{1-n}$ ، لتناوب الفرق $2^{1-n}T_n - P$ ، ودرجته $\leq n-1$ ، في الإشارة عند نقاط التذبذب المتساوي $n+1$ .)
وتطبيقٌ على الاستيفاء: من أجل عقد $t_1 < \dots < t_n$ في $\intcc{-1}1$ ، يتضمّن خطأ استيفاء لاغرانج لدالة من الصنف $\mathcal C^n$ المقدارَ $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . برهن على أن اختيار جذور تشيبيشيف عقدًا يصغّر $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ ، وأعطِ الحدّ الناتج $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {2^{n-1}\,n!}$ — وقارنه بالعقد المتساوية التباعد (مع ذكر ظاهرة رونغه بوصفها القصة العبرة).
تحقق من $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ (باشتقاق $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ وأخذ النهايات $\theta \to 0, \pi$ ): فكثيرات الحدود المحدودة بالعدد $1$ على $\intcc{-1}1$ قد تبلغ مشتقتها $n^2$ عند الحافة (وتقول متراجحة ماركوف إنها لا تتجاوز ذلك — والعبارة دون برهان). وأين في الفترة يكون حدّ المشتقة $O(n)$ فقط؟
(تربيع تشيبيشيف–غاوس) برهن على أن قاعدة غاوس للوزن $w$ عند جذور تشيبيشيف $n$ ذات أوزان متساوية $w_i = \frac\pi n$ (بالضبط على $T_0, \dots, T_{n-1}$ مع المجاميع المثلثية $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ من أجل $1 \leq j \leq n - 1$ ): أي أكثر التربيعات انتظامًا جميعًا. واكتبها صراحةً من أجل $n = 3$ .

الجزء السادس — كريستوفل–داربو، والتداخل، ومصفوفة ياكوبي. ونعود إلى وزن عام؛ $h_k = \norm{p_k}^2$ (حيث $p_k$ موحَّدة)، و $b_k = h_k/h_{k-1}$ .

(أصغر معيار) برهن على أنه من بين كل كثيرات الحدود الموحَّدة من الدرجة $n$ ، يكون المتعامد $p_n$ وحدَه ذا المعيار الأصغر بالمعنى $L^2(w)$ — وعيّن هذا التصغير بوصفه إسقاطًا متعامدًا على $\R_{n-1}[t]$ (المبرهنة 13.2 أو الإسقاط المنتهي البُعد من السنة الجامعية 2). وخاصية الأصغري الأعظمي في السؤال 14 هي العبارة نفسها مع $L^\infty$ بدل $L^2$ : البطل واحد، والمعياران اثنان.
(كريستوفل–داربو) برهن، بالتراجع على $n$ باستعمال العلاقة التراجعية ذات الحدود الثلاثة، على المتطابقة

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$

وعلى صيغتها الالتحامية ( $y \to x$ ): $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$ .
استنتج أنه ليس للمقدارين $p_n$ و $p_{n+1}$ أي جذر مشترك، وأنه عند كل جذر $x_0$ للمقدار $p_{n+1}$ : $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . واخلص إلى تداخل الجذور: أي إن بين كل جذرين متتاليين للمقدار $p_{n+1}$ جذرًا واحدًا بالضبط للمقدار $p_n$ .
(مصفوفة ياكوبي) لتكن $J_n$ المصفوفةَ المتناظرة ثلاثية الأقطار من الرتبة $n\times n$ ذات القطر $a_0, \dots, a_{n-1}$ والعناصر خارج القطر $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . برهن بالتراجع على أن $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ ، ومنه تكون جذور $p_n$ هي القيم الذاتية لمصفوفة متناظرة حقيقية — فيُعاد البرهان في سطر واحد على أنها حقيقية، ويُربط (مع التداخل أعلاه) كثيرات الحدود المتعامدة بالعالم الطيفي في الفصل 15.
(تركيب) كوِّن المعجم الخاص بالعائلات الكلاسيكية الثلاث (لوجاندر، إرميت، تشيبيشيف): الفترة، والوزن، والصيغة المعرِّفة، والعلاقة التراجعية ذات الحدود الثلاثة، والمعيار، والموطن الطبيعي لكلٍّ منها (التربيع والتقريب على المتراصات؛ والتحليل الغاوسي؛ والأصغري الأعظمي وطرق فورييه الجيبتمامية). وجملة واحدة عمّا أعطته النظرية العامة (الجزآن الأول والسادس) ولم يكن أي حساب مفرد ليعطيه.

الجزء السابع — حدّ الخطأ، والنواة الكامنة وراء الأوزان. وهنا يكون $I$ متراصًّا و $f \in \mathcal C^{2n}(I)$ .

(صيغة خطأ غاوس) ليكن $Hf$ مستوفي إرميت من الدرجة $\leq 2n - 1$ الموافق للدالة $f$ ولمشتقتها $f'$ عند العقد $t_1, \dots, t_n$ (وبرهن على وجوده وعلى الخطأ النقطي

$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$

بحجة الدالة المساعدة المعتادة). واستنتج، بمكاملة هذه المتطابقة مقابل $w$ وبالحصر بين القيم القصوى للمقدار $f^{(2n)}$ ، أن

$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{من أجل} \xi \in I,$

مع $h_n = \norm{p_n}^2$ كما في الجزء السادس: أي إن التربيع الغاوسي يخطئ بمشتقة واحدة من الرتبة $2n$ ، موزونةً بمربّع معيار كثير الحدود المتعامد الموحَّد.
(الأوزان قيمٌ لكريستوفل) باستعمال النواة الاستنساخية $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ للفضاء $\R_{n-1}[t]$ وضبط $Q_n$ حتى الدرجة $2n - 2$ ، برهن على

$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$

أي إن كل وزن هو قيمة دالة كريستوفل عند عقدته — وهي إيجابية الأوزان (السؤال 10) من جديد، لكن بصيغة مضبوطة الآن. وتحقق من أنها تستعيد $w_1 = w_2 = 1$ من أجل $n = 2$ و $I = \intcc{-1}1$ و $w = 1$ .
(كل شيء يُتحقَّق منه على تكامل واحد) من أجل وزن تشيبيشيف وعقد $n = 3$ ، احسب طرفَي

$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$

فيكون خطأ التربيع $\frac{\pi}{32}$ بالضبط؛ ثم تحقق من أن صيغة الخطأ في السؤال 23 تتنبّأ بهذه القيمة بعينها (فهنا $f^{(6)} = 6!$ ثابت، و $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$ ): فتتفق النظرية والحساب حتى الرقم الأخير.

حل

حل المسألة 13.1.

1. يضمن غرام–شميدت أن $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ وأن $p_n \perp p_k$ (حيث $k < n$ )، ومنه $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . وكثيرات الحدود $p_k$ ، ذات الدرجات المتزايدة تمامًا، مستقلة: فهي أساس.

2. المقدار $t\,p_n$ موحَّد من الدرجة $n + 1$ : ننشر $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ مع $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$ . ومن أجل $k \leq n - 2$ : $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (لأن الدرجة $k + 1 < n$ ). ومنه $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$ ، وهي العلاقة التراجعية المذكورة، مع

b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{حدود من درجة أدنى}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .

3. لتكن $t_1 < \dots < t_m$ النقاط الداخلية في $I$ التي يغيّر عندها $p_n$ إشارته، ولتكن $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (مع $q = 1$ إذا كان $m = 0$ ). عندئذٍ يكون للمقدار $p_nq$ إشارة ثابتة على $I$ وهو ليس معدومًا في كل مكان تقريبًا: ومنه $\int_Ip_nq\,w \neq 0$ . وإذا كان $m < n$ ، ناقض ذلك $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . ومنه $m = n$ : أي إن للمقدار $p_n$ عددًا $n$ من الجذور الداخلية المتمايزة (وله على الأكثر $n$ جذرًا في الجملة).

4. درجة $(t^2 - 1)^n$ هي $2n$ ؛ ويترك الاشتقاق $n$ مرة الدرجةَ $n$ ، بمعامل رئيسي $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ . ومن أجل $\deg Q < n$ ، نكامل بالتجزئة $n$ مرة: فتحتوي جميع الحدود الحدّية على مشتقة من رتبة $< n$ للمقدار $(t^2-1)^n$ ، وهي تنعدم عند $\pm1$ (لأنه جذر من الرتبة $n$ )؛ وبعد $n$ خطوة يحمل المقدار المكامَل $Q^{(n)} = 0$ .

5. مع $u = (t^2 - 1)^n$ :

(2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t ,

( $u^{(2n)} = (2n)!$ ؛ وتنعدم الحدود الحدّية كما في السؤال 4). و $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ (التمرين 11.8). وبالضمّ: $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$ .

6. كثيرات الحدود كثيفة بالمعنى $\norm\cdot_\infty$ في $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (بفايرشتراس، النتيجة 7.16)، والدوال المتصلة كثيفة بالمعنى $L^2$ (المبرهنة 12.6)، و $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$ : ومنه فالفضاءات المولَّدة بكثيرات الحدود شاملة، وتشكّل $P_n$ المعيَّرة أساسًا هيلبرتيًّا. وأما نشر $\abs t$ : فمعاملها مقابل $P_0$ هو $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$ ؛ ومقابل $P_1$ : هو $0$ (بالتماثل)؛ ومقابل $P_2$ : $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$ . وأفضل تقريب تربيعي:

\abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 .

7. من $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ وليبنيتز، $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ؛ ويعطي التراجع الدرجة $n$ والمعامل الرئيسي $2^n$ . ومن أجل $m < n$ ، نكامل بالتجزئة $n$ مرة في $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2} \bigr)^{(n)}$ : فتنعدم الحدود الحدّية (كثير حدود $\times$ $\eu^{-t^2}$ ) عند $\pm\infty$ ، ويبقى $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$ . ومن أجل $m = n$ : $H_n^{(n)} = 2^nn!$ ، ومنه $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$ .

8. لتكن $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ متعامدة مع كل كثير حدود، ولتكن $g = f\eu^{-t^2}$ . عندئذٍ $g \in L^1$ : $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (بكوشي–شوارتز). ومن أجل $\xi \in \R$ ، ننشر $\eu^{-\iu\xi t}$ : فتكون المجاميع الجزئية مهيمَنًا عليها لأن

\sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty

(وتتقارب المتسلسلة الأخيرة: إذ $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$ ، ومنه تكون حدودها $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$ ). وتعطي المكاملة حدًّا حدًّا (النتيجة 10.7 مطبَّقة على المتسلسلة المطلقة، ثم فوبيني للمتسلسلات)

\int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 ,

إذ كل تكامل من نمط $\langle t^k, f\rangle_w$ ، أي $= 0$ . وحسب تباين تحويل فورييه المسلَّم به (الفصل 14)، يكون $g = 0$ في كل مكان تقريبًا، ومنه $f = 0$ في كل مكان تقريبًا: أي إن عائلة إرميت (التي فضاءاتها المولَّدة هي كثيرات الحدود) شاملة.

9. الضبط حتى الدرجة $n - 1$ : من أجل $P$ كهذا، يكون $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ بالضبط، ومنه $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$ . وأما الدرجة $\leq 2n - 1$ : فنقسم $P = qp_n + r$ ، حيث $\deg q \leq n - 1$ و $\deg r \leq n-1$ ؛ عندئذٍ $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ ( $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ )، بينما $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ لأن العقد جذورُ $p_n$ . فهما متساويان.

10. درجة $\ell_i^2$ هي $2n - 2 \leq 2n - 1$ و $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$ : ومنه $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$ . وأما بوليا (التمرين 8.9، منقولةً إلى $I$ مع وزن): فالشرط (أ) محقق — إذ يُكامَل كل كثير حدود بالضبط ما دام $2n - 1 \geq$ درجته؛ والشرط (ب): $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$ ، وهو محدود: ومنه $Q_n(f) \to \int fw$ من أجل كل $f \in \mathcal C(I)$ ، حيث $I$ متراص.

11. الموحَّد $p_2 = t^2 - \frac13$ (من التمرين 13.4): فالعقد $\pm\frac1{\sqrt3}$ . وأما الأوزان: $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$ ، و $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$ ؛ وبالتناظر $w_2 = 1$ . وأما الضبط: $\int 1 = 2 = 1 + 1$ ؛ $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$ ؛ $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$ ؛ و $\int t^3 = 0$ . وأما قاعدة شبه المنحرف ذات النقطتين (بالعقدتين $\pm1$ والوزنين $1, 1$ ) فمضبوطة حتى الدرجة $1$ فقط: إذ تعطي على $t^2$ العددَ $2$ بدل $\frac23$ . فالكلفة واحدة ودرجتا ضبط إضافيتان: وهذا هو مردود العقد المتعامدة.

12. من $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ مع $T_0 = 1$ و $T_1 = t$ ؛ ويعطي التراجع كثيرات حدود من الدرجة $n$ بمعامل رئيسي $2^{n-1}$ (حيث $n \geq 1$ ). وبالتعويض $t = \cos\theta$ ( $w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$ ): $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ من أجل $m \neq n$ ، و $= \pi$ من أجل $m = n = 0$ ، و $= \frac\pi2$ فيما عدا ذلك (بتحويل الجداء إلى مجموع). وتعيّن الدرجاتُ والتعامدُ الثنائي كثيراتِ الحدود $T_n$ بوصفها ناتج غرام–شميدت إلى غاية سلّميات؛ ونشرُ $f$ بتشيبيشيف هو بالضبط متسلسلة فورييه الجيبتمامية للمقدار $\theta \mapsto f(\cos\theta)$ .

13. يكون $T_n(t) = 0$ إذا وفقط إذا كان $\cos n\theta = 0$ ، إذا وفقط إذا كان $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : أي الجذور $n$ المتمايزة $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$ . وأما القيم القصوى: $\abs{T_n} \leq 1$ على $\intcc{-1}1$ ، مع $T_n(s_j) = (-1)^j$ عند النقاط $n + 1$ $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ : أي تذبذب متساوٍ تام.

14. المقدار $2^{1-n}T_n$ موحَّد ومعيار سوپريمومه $2^{1-n}$ . ولو كان لكثير حدود موحَّد $P$ من الدرجة $n$ أن يحقق $\sup\abs P < 2^{1-n}$ ، لكانت درجة الفرق $D = 2^{1-n}T_n - P$ تساوي $\leq n - 1$ (إذ يتلاشى الحدّان الرئيسيان) ومع ذلك يتناوب في الإشارة عند $s_0 > \dots > s_n$ (إذ يهيمن هناك $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ على $P$ ): أي $n$ جذرًا على الأقل — ومنه $D \equiv 0$ ، وهو تناقض. وأما الوحدانية عند التساوي، فيحقق الفرق $D$ نفسه $(-1)^jD(s_j) \geq 0$ ؛ ولا يمكن لكثير حدود غير معدوم درجته $\leq n-1$ أن يحمل $n$ من القيود القصوى المتناوبة بالمعنى الواسع دون أن يكون له $n$ جذرًا قابلةً للعدّ كما ينبغي (فإذا كان $D(s_j) = 0$ عند نقطة داخلية $s_j$ ما، كان ذلك الجذر مضاعفًا في العدّ لأن $D$ يحتفظ بإشارة محليًّا): ومنه $D \equiv 0$ مرة أخرى.

15. تعطي صيغة خطأ لاغرانج (رول، السنة الجامعية 2) أن $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)}{n!}\,\omega(t)$ ، ومنه يكون الخطأ المنتظم على الأكثر $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {n!}\,\sup\abs\omega$ ، والدالة $\omega$ موحَّدة من الدرجة $n$ : فحسب السؤال 14، $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ مع التساوي إذا وفقط إذا كانت العقد جذور تشيبيشيف. ومنه الحدّ الأمثل $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$ . وأما بالعقد المتساوية التباعد، فيكون $\sup\abs\omega$ أكبر أُسّيًّا بجوار الطرفين، ويتباعد هناك حتى استيفاء $\frac1{1 + 25t^2}$ حين $n \to \infty$ (أي ظاهرة رونغه)؛ وعقد تشيبيشيف هي العلاج.

16. باشتقاق $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ : $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta} {\sin\theta}$ ، وهو يؤول إلى $n^2$ حين $\theta \to 0$ وإلى $(-1)^{n+1}n^2$ حين $\theta \to \pi$ : ومنه $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ . وعند النقاط الداخلية، $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$ : فالانفجار التربيعي لا يسكن إلا الحافتين (أي حدّ برنشتاين الداخلي مقابل حدّ ماركوف الشامل).

17. لتكن $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ ولتكن $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ من أجل $1 \leq j \leq n-1$ . عندئذٍ

S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] .

ومن أجل $j$ زوجي ينعدم البسط: أي $S_j = 0$ . ومن أجل $j$ فردي يكون البسط $-2$ ، و $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$ ، ومنه يكون التعبير كله $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ : أي تخيّلي محض، فيكون $S_j = 0$ مرة أخرى. ومنه فإن القاعدة ذات الأوزان المتساوية $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ تكامل $T_0$ ( $\sum w_i = \pi = \int w$ ) وتلغي $T_1, \dots, T_{n-1}$ تمامًا كما يفعل $\int T_jw = 0$ : أي إنها مضبوطة حتى الدرجة $n - 1$ . والأوزان المضبوطة حتى الدرجة $n-1$ عند عقد معطاة وحيدةٌ (بأساس لاغرانج): ومنه فأوزان غاوس كلها $\frac\pi n$ . ومن أجل $n = 3$ : العقد $\pm\frac{\sqrt3}2, 0$ و

\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr],

وهي مضبوطة حتى الدرجة $5$ .

18. من أجل $P$ موحَّد من الدرجة $n$ : يكون $P = p_n + r$ مع $r \in \R_{n-1}[t]$ ، و $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (السؤال 1)، ومنه $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$ ، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $r = 0$ : أي إن $p_n$ هو باقي الإسقاط المتعامد للمقدار $t^n$ على $\R_{n-1}[t]^\perp$ ، أي كثير الحدود الموحَّد الأقرب إلى الفضاء الجزئي الذي عليه أن يتجنّبه. ويجيب المقدار $2^{1-n}T_n$ لتشيبيشيف عن السؤال نفسه من أجل معيار السوپريموم: أي أقل انحراف عن الصفر، مرةً في $L^2(w)$ ومرةً في $L^\infty$ .

19. نكتب $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ . الأساس $n = 0$ : $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$ لأن $p_1 = t - a_0$ . والخطوة: بافتراض المتطابقة من أجل $n - 1$ ،

(x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ;

نعوّض $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ و $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ في الحدّ الثاني: فتتلاشى إسهامات $a_n$ ، وتلغي إسهامات $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ حدَّ التراجع؛ ويبقى $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$ . وتنتج الصيغة الالتحامية بجعل $y \to x$ (إذ الطرفان كثيرا حدود في $y$ ).

20. تعطي الصيغة الالتحامية أن $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ في كل مكان. وعند جذر $x_0$ للمقدار $p_{n+1}$ : $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$ ، ومنه $p_n(x_0) \neq 0$ (فلا جذور مشتركة). وبين جذرين متتاليين $x_0 < x_1$ للمقدار $p_{n+1}$ (وكلها بسيطة، الجزء الأول)، تكون للمقدار $p_{n+1}'$ إشارتان متعاكستان، ومنه كذلك للمقدار $p_n$ : فيقع جذر للمقدار $p_n$ في كل فجوة من الفجوات $n$ — وهذا يستنفد جذوره $n$ : أي التداخل.

21. بنشر $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ على امتداد السطر الأخير: $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$ ، مع $D_0 = 1$ و $D_1 = t - a_0$ : أي العلاقة التراجعية وبذور $p_n$ الموحَّد، ومنه $D_n = p_n$ . فجذور $p_n$ هي القيم الذاتية للمصفوفة المتناظرة $J_n$ : أي حقيقية، وبسيطة حسب السؤال 19 — فالتربيع الغاوسي نظريةٌ طيفية لمصفوفة ثلاثية الأقطار متنكّرة، وهي الظل المنتهي البُعد للفصل الفصل 15.

22. المعجم:

	لوجاندر	إرميت	تشيبيشيف
الفترة	$\intcc{-1}1$	$\R$	$\intcc{-1}1$
الوزن	$1$	$\eu^{-t^2}$	$(1-t^2)^{-1/2}$
الصيغة	رودريغ	$(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$	$\cos(n\arccos t)$
مربّع المعيار	$\frac2{2n+1}$	$2^nn!\sqrt\pi$	$\pi, \frac\pi2$
الموطن	التربيع	التحليل الغاوسي	الأصغري الأعظمي

(ولكلٍّ منها علاقتها التراجعية ذات الحدود الثلاثة: الصيغة العامة للوجاندر، و $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$ ، و $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ ). وقد وفّرت النظرية العامة ما لا تبيّنه أي عائلة مفردة: حقيقيةَ الجذور وتداخلها، وإيجابيةَ أوزان التربيع، ومجرّدَ وجود العلاقة التراجعية وكريستوفل–داربو — وهي نتائج التعامد وحده، بانتظام في الوزن.

23. أما الوجود: فالتطبيق الخطي $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$ ، $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$ ، متباين (إذ لكثير حدود $P$ في النواة $n$ جذرًا مضاعفًا ودرجته $\leq 2n - 1$ ، ومنه $P = 0$ ) بين فضاءين لهما البُعد $2n$ نفسه: فهو تقابل. وأما الخطأ النقطي: فنثبّت $t$ ليست عقدة ونختار $K$ بحيث ينعدم $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ عند $s = t$ . عندئذٍ تنعدم $g$ عند النقاط المتمايزة $n + 1$ $t, t_1, \dots, t_n$ ، وتنعدم $g'$ عند كل $t_i$ أيضًا (إذ لكلٍّ من $f - Hf$ و $p_n^2$ جذور مضاعفة هناك). ويعطي رول $n$ جذرًا للمقدار $g'$ تقع تمامًا بين جذرين متتاليين للمقدار $g$ — متمايزة عن العقد — ومنه للمقدار $g'$ عدد $2n$ من الجذور المتمايزة؛ وبتطبيق رول $2n - 1$ مرة إضافية نحصل على $\xi_t$ يحقق $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$ . وبما أن $\deg Hf \leq 2n - 1$ وأن $p_n^2$ موحَّد من الدرجة $2n$ ، فإن $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$ ، ومنه $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — والمتطابقة بديهية عند العقد. وأما المكاملة: فإن $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ (لأن $Hf$ توافق $f$ عند العقد) و $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ بالضبط حتى الدرجة $2n - 1$ (السؤال 9)، ومنه يكون خطأ التربيع $\int(f - Hf)\,w$ . ومع $m, M$ القيمتين القصويين للمقدار $f^{(2n)}$ على $I$ ، تحصر المتطابقةُ النقطية

\frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} ,

وتعطي مبرهنة القيم الوسطى مطبَّقةً على $f^{(2n)}$ المتصلة العددَ $\xi$ . (ومن أجل لوجاندر مع $n = 2$ : $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$ ، ومنه يكون الخطأ $f^{(4)}(\xi)/135$ .)

24. تستنسخ النواة الفضاءَ $\R_{n-1}[t]$ : فبنشر $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ نجد $\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)$ من أجل كل $q$ درجته $\leq n - 1$ . ونأخذ $q = \ell_i$ : فيساوي الطرف الأيسر $\ell_i(t_i) = 1$ . لكن $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ كثير حدود درجته $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$ ، و $Q_n$ مضبوطة عليه (السؤال 9)، وهو ينعدم عند كل عقدة $t_j \neq t_i$ (بالعامل $\ell_i$ )، ومنه

1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} .

والمجموع $> 0$ (إذ حدّه عند $k = 0$ هو $1/h_0 > 0$ ): وهي الصيغة المذكورة، والإيجابية من جديد. والتحقق ( $n = 2$ ، لوجاندر): $p_0 = 1$ ، $h_0 = 2$ ، $p_1 = t$ ، $h_1 = \frac23$ ؛ وعند $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$ ،

K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1,

كما وجدنا في السؤال 11.

25. بالتعويض $t = \cos\theta$ ، يكون التكامل $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (واليس، التمرين 11.8). ولقاعدة تشيبيشيف–غاوس من أجل $n = 3$ (السؤال 17) العقدُ $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$ و $\cos\frac\pi2 = 0$ و $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ والأوزان المتساوية $\frac\pi3$ :

Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} .

وأما التنبؤ: فكثير الحدود المتعامد الموحَّد من الدرجة $3$ هو $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$ ، مع $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$ ؛ وللدالة $f = t^6$ مقدارٌ ثابت $f^{(6)} = 720 = 6!$ ، ومنه يعطي السؤال 23 الخطأ $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ — وإذ لم يبقَ أي تعلّق بالعدد $\xi$ ، تُجبَر الصيغة على أن تكون مضبوطة، وهي كذلك.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد