ما معنى كثير الحدود المميز؟ — الرياضيات

تعريف 3.3 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 3 — اختزال التشاكلات الذاتية

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ — ويُحسب في أي أساس على صورة $\det(XI_n - A)$ ، وهو كثير حدود موحَّد درجته $n$ ، لا يتغير بالتشابه (المبرهنة 2.17). وجذوره في $K$ هي بالضبط القيم الذاتية ( $\lambda$ قيمة ذاتية $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ غير متباين $\iff \chi_u(\lambda) = 0$ )، ويكون

\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det u .

والتضاعف الجبري $m_\lambda$ لقيمة ذاتية هو تضاعفها بوصفها جذرًا لكثير الحدود $\chi_u$ ؛ والتضاعف الهندسي هو $\dim E_\lambda$ ، ويكون $1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda$ .

أمثلة

مثال 3.4 (كثير الحدود $\chi$ نفسه، وهندستان مختلفتان)

المصفوفتان

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{و}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

تشتركان في كثير الحدود المميز $(X - 2)^2$ ، وفي الأثر، وفي المحدد، وفي الطيف — ومع ذلك فهما غير متشابهتين: فبعد $E_2$ في الأولى $2$ (أي التضاعف الهندسي $2$ )، وفي الثانية $1$ . فكثير الحدود المميز لا يرى إلا التضاعفات الجبرية؛ وأبعاد الفضاءات الذاتية هي اللامتغيّر الأدقّ، وكثير الحدود الأدنى هو الحَكَم ( $X - 2$ في مقابل $(X - 2)^2$ ). والعبرة في كل مناقشات قابلية التقطير: يضع $\chi$ قائمةً بالمرشحين، لكن النوى هي التي تُدلي بالأصوات.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة