ما معنى كثير الحدود الأدنى؟

مثال 3.13 (كثيرات حدود دنيا موجودة يدويًا)

يُحسب كثير الحدود الأدنى باختبار الدرجات المتتالية. فمن أجل المصفوفة $J \in \mathcal{M}_3(\R)$ التي كل عناصرها واحد: $J \neq \lambda I$ (فالدرجة $1$ مستبعدة)، و$J^2 = 3J$، ومنه

وهو من الدرجة $2$، منحلّ، بجذور بسيطة — فالمصفوفة $J$ قابلة للتقطير بطيف $\{0, 3\}$ (النتيجة 3.17 أدناه)، وهذا يؤكد المثال 2.19 دون أي محدد. ومن أجل مصفوفة التبادل $A$ في المثال 3.15: يعطي $A \neq \pm I$ و$A^2 = I$ أن $\mu_A = X^2 - 1$. وفي الحالتين النمط واحد: خمّن متطابقة من درجة صغيرة انطلاقًا من البنية (فالرتبة واحد تفرض $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$؛ والتقابل الذاتي من الرتبة اثنين يفرض $A^2 = I$)، ثم تحقّق من أن لا قاسم فعلي يُعدم. فكثيرات الحدود الدنيا تُوجَد عادةً، ولا تُحسب انطلاقًا من $\chi$.

مثال 3.15 (المبرهنة المساعدة للنواة بإسقاطات صريحة)

ليكن $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (بتبادل الإحداثيتين الأوليين). عندئذٍ $A^2 = I$: فكثير الحدود $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ يُعدم $A$، وعاملاه أوليان فيما بينهما، وبيزو صريح:

واتّباعًا لبرهان المبرهنة 3.14، يكون الإسقاطان على $\ker(A - I)$ و$\ker(A + I)$ هما كثيرا الحدود في $A$

وللتحقق: $\pi_+ + \pi_- = I$، $\pi_+\pi_- = 0$، $\pi_\pm^2 = \pi_\pm$، والصورتان هما المستوي $\{x = y\}$ (المتجهات المتماثلة، بالقيمة الذاتية $1$) والمستقيم $\R(1, -1, 0)$ (ضدّ المتماثلة، بالقيمة الذاتية $-1$). فالمبرهنة المساعدة للنواة ليست قولًا في الوجود: بل إن معاملات بيزو هي صيغتا الإسقاطين.

مثال 3.20 (الأدنى في مقابل المميز)

من أجل $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$: $\chi_D = (X - 2)^2(X - 3)$ لكن $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$، لأن $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (بالتحقق على الأساس القانوني) في حين أن أيًا من العاملين وحده لا يُعدم $D$. ومن أجل كتلة الإزاحة $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$، أي $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right)$: نجد $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ و $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — فالجذر المضاعف مطلوب فعلًا لأن $N'$ غير قابل للتقطير على جانب $\ker$ ($N'e_2 = e_1 \neq 0$). قاعدة عملية: يشترك $\mu$ و$\chi$ في الجذور (القضية 3.12)؛ ويقيس التضاعف في $\mu$ حجم أكبر كتلة عديمة القوى، والتضاعف في $\chi$ البعدَ الكلي للفضاء المميز.