Wat is eindige dimensie?

Voorbeeld 19.5

$\dim K^n = n$ (canonieke basis); $\dim K_n[X] = n + 1$ (monomen); $\dim_\R \C = 2$; de oplossingsruimte van $y'' + ay' + by = 0$ heeft dimensie $2$ (Stelling 5.10: de oplossingen worden bijectief en lineair geparametriseerd door $(\lambda, \mu) \in K^2$).

Voorbeeld 19.6 (Dezelfde verzameling, twee dimensies)

De verzameling $\C^2$ van paren complexe getallen is een $\C$-vectorruimte van dimensie $2$ (canonieke basis $e_1, e_2$) — en een $\R$-vectorruimte van dimensie $4$, met basis

elke $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ heeft eenduidig de reële coördinaten $(a, b, c, d)$. De dimensie is geen eigenschap van de verzameling vectoren alleen: zij telt de vrijheidsgraden ten opzichte van de toegelaten scalairen, en het halveren van de voorraad scalairen van $\C$ tot $\R$ verdubbelt de telling. (De weekendopgave buit het uiterste geval van deze gevoeligheid uit, met scalairen die helemaal tot $\Q$ zijn gekrompen.)

Voorbeeld 19.9 (Twee uit drie, het halve werk bespaard)

Is $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ een basis van $\R^3$? Tellen: drie vectoren, dimensie drie — dus beslist de vrijheid alleen. Een nulcombinatie geeft $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b + c = 0$; door alle drie op te tellen krijgen we $2(a + b + c) = 0$, en door elke oorspronkelijke vergelijking van $a + b + c = 0$ af te trekken blijft $b = c = a = 0$ over: vrij, en dus een basis, waarbij de voortbrengende helft van de verificatie gratis door de stelling wordt geleverd. Vergelijk Voorbeeld 18.18, waar dezelfde dubbele verificatie met de hand moest gebeuren — één hoofdstuk theorie zet zich precies om in die besparing, bij elke basiscontrole in de rest van het boek.