परिमित विमा क्या है?

उदाहरण 19.5

$\dim K^n = n$ (विहित आधार); $\dim K_n[X] = n + 1$ (एकपदी); $\dim_\R \C = 2$; और $y'' + ay' + by = 0$ की हल-समष्टि की विमा $2$ है (प्रमेय 5.10: हल $(\lambda, \mu) \in K^2$ के द्वारा एकैकी आच्छादक तथा रैखिक रूप से प्राचलित होते हैं)।

उदाहरण 19.6 (एक ही समुच्चय, दो विमाएँ)

सम्मिश्र संख्याओं के युग्मों का समुच्चय $\C^2$ विमा $2$ वाली $\C$-सदिश समष्टि है (विहित आधार $e_1, e_2$) — और विमा $4$ वाली $\R$-सदिश समष्टि भी, जिसका आधार है

हर $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ के वास्तविक निर्देशांक $(a, b, c, d)$ अद्वितीय रूप से होते हैं। विमा केवल सदिशों के समुच्चय का गुण नहीं है: वह अनुमत अदिशों के सापेक्ष स्वातंत्र्य कोटियाँ गिनती है, और अदिशों की पूर्ति $\C$ से $\R$ तक आधी कर देने पर गिनती दुगुनी हो जाती है। (सप्ताहांत समस्या इसी संवेदनशीलता की चरम स्थिति का लाभ उठाती है, जहाँ अदिश सिकुड़कर $\Q$ तक आ जाते हैं।)

उदाहरण 19.9 (तीन में से दो, आधा काम बचाकर)

क्या $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ $\R^3$ का आधार है? गिनती: तीन सदिश, विमा तीन — अतः निर्णय अकेली स्वतंत्रता कर देगी। शून्य संयोजन से $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b + c = 0$ मिलता है; तीनों को जोड़ने पर $2(a + b + c) = 0$, और $a + b + c = 0$ में से हर मूल समीकरण घटाने पर $b = c = a = 0$ बचता है: अतः स्वतंत्र, इसलिए आधार, और सत्यापन का जनक-वाला आधा हिस्सा प्रमेय ने मुफ़्त में दे दिया। उदाहरण 18.18 से तुलना कीजिए, जहाँ वही दुहरा सत्यापन हाथ से करना पड़ा था — सिद्धांत का एक अध्याय ठीक इतनी ही बचत में बदल जाता है, और वह भी पुस्तक के शेष भाग की हर आधार-जाँच पर।