Qu'est-ce que « dimension finie » ?

Exemple 19.5

$\dim K^n = n$ (base canonique) ; $\dim K_n[X] = n + 1$ (les monômes) ; $\dim_\R \C = 2$ ; l’espace des solutions de $y'' + ay' + by = 0$ est de dimension $2$ (Théorème 5.10 : les solutions sont paramétrées bijectivement et linéairement par $(\lambda, \mu) \in K^2$).

Exemple 19.6 (Le même ensemble, deux dimensions)

L’ensemble $\C^2$ des couples de nombres complexes est un $\C$-espace vectoriel de dimension $2$ (base canonique $e_1, e_2$) — et un $\R$-espace vectoriel de dimension $4$, de base

tout $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ a pour coordonnées réelles $(a, b, c, d)$, de façon unique. La dimension n’est pas une propriété du seul ensemble des vecteurs : elle compte les degrés de liberté relativement aux scalaires autorisés, et diviser par deux la réserve de scalaires en passant de $\C$ à $\R$ double le compte. (Le devoir maison exploite le cas extrême de cette sensibilité, avec des scalaires réduits jusqu’à $\Q$.)

Exemple 19.9 (« Deux sur trois », ou la moitié du travail économisée)

La famille

est-elle une base de $\R^3$ ? Comptons : trois vecteurs, dimension trois — la seule liberté décide donc. Une combinaison nulle donne $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b + c = 0$ ; en additionnant les trois, $2(a + b + c) = 0$, et en retranchant chaque équation initiale de $a + b + c = 0$ il reste $b = c = a = 0$ : libre, donc base, la moitié « génératrice » de la vérification étant offerte par le théorème. À comparer avec l’Exemple 18.18, où la même double vérification devait être menée à la main — un chapitre de théorie se convertit exactement en cette économie, sur chaque vérification de base jusqu’à la fin du livre.