Apa itu dimensi hingga?

Contoh 19.5

$\dim K^n = n$ (dengan basis kanoniknya); $\dim K_n[X] = n + 1$ (dengan monomialnya); $\dim_\R \C = 2$; dan ruang penyelesaian $y'' + ay' + by = 0$ berdimensi $2$ (Teorema 5.10: karena penyelesaiannya terparameterkan secara bijektif dan linear oleh $(\lambda, \mu) \in K^2$).

Contoh 19.6 (Himpunan yang sama, dua dimensi)

Himpunan $\C^2$ berisi pasangan bilangan kompleks merupakan ruang vektor atas $\C$ berdimensi $2$ (dengan basis kanoniknya $e_1, e_2$) — sekaligus ruang vektor atas $\R$ berdimensi $4$, dengan basisnya

karena setiap $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ mempunyai koordinat real $(a, b, c, d)$, secara tunggal. Jadi dimensi bukan sifat himpunan vektornya semata: karena ia mencacah derajat kebebasan relatif terhadap skalar yang diizinkan, dan memaruhkan pasokan skalarnya dari $\C$ ke $\R$ melipatduakan cacahnya. (Adapun soal akhir pekannya memanfaatkan kasus ekstrem kepekaan ini, dengan skalarnya disusutkan sampai ke $\Q$.)

Contoh 19.9 (Dua dari tiga, yang menghemat separuh kerjanya)

Apakah $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ merupakan basis $\R^3$? Cacahlah: tiga vektor, dimensi tiga — sehingga kebebasannya saja yang memutuskan. Adapun sebuah kombinasi nol memberikan $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b + c = 0$; lalu menjumlahkan ketiganya, $2(a + b + c) = 0$, dan mengurangkan setiap persamaan aslinya dari $a + b + c = 0$ menyisakan $b = c = a = 0$: jadi bebas, sehingga sebuah basis, dengan paruh pembangun pemeriksaannya dipasok cuma-cuma oleh teoremanya. Bandingkanlah Contoh 18.18, yang di situ pemeriksaan ganda yang sama harus dikerjakan dengan tangan — jadi satu bab teori tertukar persis menjadi penghematan itu, pada setiap pemeriksaan basis bagi sisa buku ini.