¿Qué es dimensión finita?

Ejemplo 19.5

$\dim K^n = n$ (base canónica); $\dim K_n[X] = n + 1$ (los monomios); $\dim_\R \C = 2$; y el espacio de soluciones de $y'' + ay' + by = 0$ tiene dimensión $2$ (Teorema 5.10: las soluciones están parametrizadas biyectiva y linealmente por $(\lambda, \mu) \in K^2$).

Ejemplo 19.6 (El mismo conjunto, dos dimensiones)

El conjunto $\C^2$ de las parejas de números complejos es un espacio vectorial sobre $\C$ de dimensión $2$ (base canónica $e_1, e_2$) — y un espacio vectorial sobre $\R$ de dimensión $4$, con base

pues todo $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ tiene coordenadas reales $(a, b, c, d)$, de forma única. La dimensión no es una propiedad del conjunto de vectores por sí solo: cuenta los grados de libertad relativos a los escalares permitidos, y reducir a la mitad el suministro de escalares, de $\C$ a $\R$, duplica la cuenta. (El problema del fin de semana explota el caso extremo de esta sensibilidad, con los escalares encogidos hasta $\Q$.)

Ejemplo 19.9 (Dos de tres, ahorrando la mitad del trabajo)

¿Es $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ una base de $\R^3$? Cuéntese: tres vectores, dimensión tres — así que decide solamente la libertad. Una combinación nula da $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b + c = 0$; sumando las tres, $2(a + b + c) = 0$ y, restando cada ecuación original de $a + b + c = 0$, queda $b = c = a = 0$: libre, luego una base, con la mitad generadora de la comprobación suministrada gratis por el teorema. Compárese con el Ejemplo 18.18, donde la misma doble comprobación hubo que hacerla a mano — un capítulo de teoría se convierte exactamente en ese ahorro, en cada comprobación de base del resto del libro.