O que é dimensão finita?

Exemplo 19.5

$\dim K^n = n$ (base canônica); $\dim K_n[X] = n + 1$ (monômios); $\dim_\R \C = 2$; o espaço das soluções de $y'' + ay' + by = 0$ tem dimensão $2$ (Teorema 5.10: as soluções são parametrizadas bijetiva e linearmente por $(\lambda, \mu) \in K^2$).

Exemplo 19.6 (O mesmo conjunto, duas dimensões)

O conjunto $\C^2$ dos pares de números complexos é um espaço vetorial sobre $\C$ de dimensão $2$ (base canônica $e_1, e_2$) — e um espaço vetorial sobre $\R$ de dimensão $4$, com base

todo $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ tem coordenadas reais $(a, b, c, d)$, de modo único. A dimensão não é uma propriedade do conjunto de vetores sozinho: ela conta os graus de liberdade relativamente aos escalares permitidos, e reduzir pela metade o estoque de escalares, de $\C$ para $\R$, duplica a contagem. (O problema de fim de semana explora o caso extremo dessa sensibilidade, com os escalares encolhidos até $\Q$.)

Exemplo 19.9 (Dois em três, poupando metade do trabalho)

Será $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ uma base de $\R^3$? Conte: três vetores, dimensão três — logo só a liberdade decide. Uma combinação nula dá $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b + c = 0$; somando as três, $2(a + b + c) = 0$, e subtraindo cada equação original de $a + b + c = 0$ resta $b = c = a = 0$: livre, logo uma base, com a metade “geradora” da verificação fornecida de graça pelo teorema. Compare com o Exemplo 18.18, em que a mesma verificação dupla teve de ser feita à mão — um capítulo de teoria converte-se exatamente nessa economia, em cada verificação de base do resto do livro.