ما معنى الصورة الأساسية الأولى؟ — الرياضيات

تعريف 19.12 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 19 — السطوح

ليكن $\sigma \colon U \to \R^3$ سطحا نظاميا من الصنف $\mathcal{C}^1$ . صورته الأساسية الأولى في $(u,v)$ هي الصورة التربيعية المعرفة الموجبة على $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

حيث

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

أمثلة

مثال 19.14 (الزوايا بين المنحنيات الإحداثية)

تقيس الصورة الأساسية الأولى الزوايا أيضا: فالمنحنيان الإحداثيان $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ و $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ يتلاقيان بالزاوية $\theta$ حيث

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

فالمعامل الوحيد $F$ هو الذي يقرر تعامد شبكة الوسيطين. وفي حالة خريطة الكرة والسطح اللولبي، $F = 0$ : فخطوط الزوال تقطع دوائر العرض، واللوالب تقطع المولّدات المستقيمية الأفقية، بزوايا قائمة — ولهذا انهارت مكاملات مساحتيهما إلى $\sqrt{EG}$ . وفي حالة خريطة تمثيل بياني، لا ينعدم $F = f_xf_y$ إلا حيث تنعدم مشتقة جزئية: فالشبكة الإحداثية لتمثيل بياني مائل ليست متعامدة، مع أن الشبكة $(x, y)$ في الأسفل متعامدة. وعندما تبدو الحسابات على سطح ثقيلة، تكون الخطوة الأولى هي البحث عن خريطة يكون فيها $F = 0$ .

مثال 19.17 (لماذا تطير الطائرات فوق القطب)

يقع مطاران على خط العرض $\varphi_0$ وعلى خطي طول متقابلين: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ و $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ على الكرة ذات نصف القطر $R$ . فعلى طول دائرة العرض ( $\varphi \equiv \varphi_0$ )، يكون الطول $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . وعلى طول المسار فوق القطب (صعودا على خط الزوال $\theta = 0$ ، ونزولا على خط الزوال $\theta = \pi$ )، يكون الطول $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . وعند خط العرض $\varphi_0 = \frac\pi3$ (ستون درجة): مسار دائرة العرض $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ ، والمسار القطبي $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — أي أقصر بالثلث. وفي الواقع $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ على $\intcc0{\pi/2}$ (فالدالة $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ تنعدم عند الطرفين ومشتقتها $2 - \pi\sin\varphi$ تغير الإشارة مرة واحدة، ومنه فهي متزايدة أولا ثم متناقصة، ومنه فهي موجبة): فالمسار القطبي لا يخسر أبدا. وهكذا حولت الصورة الأساسية الأولى سؤال ملاحة إلى تكاملين من سطر واحد؛ ويدفع التمرين 19.6 الفكرة إلى برهان أصغرية حقيقي من أجل خطوط الزوال.

مثال 19.22 (تمثيلان بيانيان مختلفان، ومساحة واحدة)

فوق قرص الوحدة، قارن الطاسة $z = \frac12(x^2 + y^2)$ بالسرج $z = xy$ . فدالتا المساحة تحت التكامل (التمرين 19.5) هما

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{و}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

وهما متطابقتان. فللسطحين — أحدهما ينحني في الاتجاهات كلها بالطريقة نفسها والآخر على شكل سرج — مساحتان متساويتان تماما فوق أي منطقة، وهي $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ فوق قرص الوحدة. فعنصر المساحة لا يرى إلا طول التدرج، لا ترتيب الانثناء؛ وتمييز الطاسة من السرج يتطلب معطيات من الرتبة الثانية (بنية الإشارات المعروضة في الشكل 19.1)، لا يكشفها أي قدر من قياس المساحات. فالصورة الأساسية الأولى متري أعمى عن الشكل؛ أما الصورة الثانية المبصرة للشكل فتنتمي إلى السنة الثالثة.

اقرأ في الفصل ←