O que é Primeira forma fundamental?

Exemplo 19.14 (Ângulos entre as curvas coordenadas)

A primeira forma fundamental mede também ângulos: as curvas coordenadas $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ e $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ se encontram sob o ângulo $\theta$ com

o único coeficiente $F$ decide a ortogonalidade da rede de parâmetros. Para a carta da esfera e para o helicoide, $F = 0$: meridianos cortam paralelos, e hélices cortam as geratrizes horizontais, em ângulo reto — e é por isso que seus integrandos de área colapsaram em $\sqrt{EG}$. Para uma carta gráfico, $F = f_xf_y$ se anula apenas onde uma derivada parcial se anula: a rede coordenada de um gráfico inclinado não é ortogonal, embora a rede em $(x, y)$ lá embaixo o seja. Quando os cálculos sobre uma superfície ficam pesados, o primeiro movimento é procurar uma carta com $F = 0$.

Exemplo 19.17 (Por que os aviões de linha voam sobre o polo)

Dois aeroportos estão na latitude $\varphi_0$ e em longitudes opostas: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ e $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ na esfera de raio $R$. Ao longo do paralelo ($\varphi \equiv \varphi_0$), o comprimento é $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$. Ao longo da rota sobre o polo (subindo o meridiano $\theta = 0$, descendo o meridiano $\theta = \pi$), ele vale $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$. Na latitude $\varphi_0 = \frac\pi3$ (sessenta graus): rota do paralelo $\pi R/2 \approx 1.571\,R$, rota polar $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — um terço mais curta. De fato, $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ em $\intcc0{\pi/2}$ (a função $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ se anula nas duas extremidades e sua derivada $2 - \pi\sin\varphi$ muda de sinal uma única vez, logo ela é primeiro crescente e depois decrescente, portanto não negativa): a rota polar nunca perde. A primeira forma fundamental transformou uma questão de navegação em duas integrais de uma linha; o Exercício 19.6 leva a ideia até uma verdadeira demonstração de minimalidade para os meridianos.

Exemplo 19.22 (Dois gráficos diferentes, uma só área)

Sobre o disco unitário, compare a tigela $z = \frac12(x^2 + y^2)$ e a sela $z = xy$. Seus integrandos de área (Exercício 19.5) são

idênticos. As duas superfícies — uma se curvando do mesmo modo em todas as direções, a outra em forma de sela — têm exatamente as mesmas áreas sobre todo domínio, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sobre o disco unitário. O elemento de área só enxerga o comprimento do gradiente, não a disposição da flexão; distinguir a tigela da sela exige dados de segunda ordem (a estrutura de sinais exibida no Figura 19.1), que nenhuma medida de área detecta. Primeira forma fundamental: métrica, cega à forma; a segunda forma, que vê a forma, pertence ao terceiro ano.