¿Qué es Primera forma fundamental?

Ejemplo 19.14 (Ángulos entre las curvas coordenadas)

La primera forma fundamental mide también ángulos: las curvas coordenadas $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ y $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ se cortan formando el ángulo $\theta$ con

el único coeficiente $F$ decide la ortogonalidad de la red de parámetros. Para la carta de la esfera y para el helicoide, $F = 0$: los meridianos cortan a los paralelos, y las hélices a las generatrices horizontales, en ángulo recto; por eso sus integrandos de área colapsaron a $\sqrt{EG}$. Para una carta de grafo, $F = f_xf_y$ solo se anula donde lo hace alguna derivada parcial: la red coordenada de un grafo inclinado no es ortogonal, aunque la red $(x, y)$ de abajo sí lo sea. Cuando los cálculos sobre una superficie se ponen pesados, el primer movimiento es buscar una carta con $F = 0$.

Ejemplo 19.17 (Por qué los aviones vuelan sobre el polo)

Dos aeropuertos están a la latitud $\varphi_0$ y en longitudes opuestas: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ y $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ sobre la esfera de radio $R$. A lo largo del paralelo ($\varphi \equiv \varphi_0$), la longitud es $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$. Por la ruta sobre el polo (subiendo por el meridiano $\theta = 0$ y bajando por el meridiano $\theta = \pi$), es $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$. A la latitud $\varphi_0 = \frac\pi3$ (sesenta grados): ruta por el paralelo $\pi R/2 \approx 1.571\,R$, ruta polar $\pi R/3 \approx 1.047\,R$; un tercio más corta. De hecho, $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ sobre $\intcc0{\pi/2}$ (la función $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ se anula en ambos extremos y su derivada $2 - \pi\sin\varphi$ cambia de signo una vez, de modo que primero crece y luego decrece, y por tanto es no negativa): la ruta polar nunca pierde. La primera forma fundamental convirtió una cuestión de navegación en dos integrales de una línea; el Ejercicio 19.6 lleva la idea hasta una demostración genuina de minimalidad para los meridianos.

Ejemplo 19.22 (Dos grafos distintos, una misma área)

Sobre el disco unidad, comparemos el cuenco $z = \frac12(x^2 + y^2)$ y la silla de montar $z = xy$. Sus integrandos de área (Ejercicio 19.5) son

idénticos. Las dos superficies —una que se curva igual en todas las direcciones, la otra con forma de silla— tienen áreas exactamente iguales sobre todo dominio, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sobre el disco unidad. El elemento de área solo ve la longitud del gradiente, no la disposición de la flexión; distinguir el cuenco de la silla exige datos de segundo orden (la estructura de signos exhibida en la Figura 19.1), que ninguna medida de área detecta. Primera forma fundamental: métrica, ciega a la forma; la segunda forma, que sí ve la forma, pertenece al tercer año.