ما معنى المساحة؟ — الرياضيات

تعريف 43.5 الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · الفصل 43 — المحيط والمساحة والحجم

مساحة الشكل تقيس السطح الذي تغطّيه: أي كم مربع وحدة يدخل فيه. والوحدات: سم $^2$ (مربع طول ضلعه $1$ سم)، وم $^2$ ، وكم $^2$ ، … واِنتبه:

1 \text{ م}^2 = 100 \times 100 \text{ سم}^2 = 10\,000 \text{ سم}^2

— فالمتر المربع مربع $100$ سم في $100$ سم، ومنه كل درجة من سلّم الوحدات تساوي $100$ ، لا $10$ .

مساحة المستطيل: 7 أعمدة في كل منها 4 مربعات وحدة، إذن 7 × 4 = 28 مربعًا في المجموع. ولهذا كانت المساحة = الطول × العرض. — مساحة المستطيل: $7$ أعمدة في كل منها $4$ مربعات وحدة، إذن $7 \times 4 = 28$ مربعًا في المجموع. ولهذا كانت المساحة $=$ الطول $\times$ العرض.

أمثلة

مثال 43.7 (الأشكال المركّبة)

غرفة على شكل حرف L هي مستطيل $6$ م $\times$ $4$ م حُذف منه ركن مربع $2$ م $\times$ $2$ م. ومساحتها، خطوة خطوة:

المستطيل الكامل: $6 \times 4 = 24$ م $^2$ ؛
المربع المحذوف: $2 \times 2 = 4$ م $^2$ ؛
المساحة الباقية: $24 - 4 = 20$ م $^2$ .

وأما محيطها فليس $20$ من أيّ شيء: فبالدوران حول حرف L، ما زال الحدّ يقيس $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ م — فقَطعا الركن يعوّضان قطعتين متساويتين من الجدار. العدد نفسه بالمصادفة، لكنه أمتار مربعة في واحدة، وأمتار في الأخرى!

اقرأ في الفصل ←

تعريف 19.20 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 19 — السطوح

ليكن $\sigma \colon U \to \R^3$ سطحا نظاميا متباينا من الصنف $\mathcal{C}^1$ ولتكن $K \subseteq U$ منطقة متراصة تكون التكاملات المزدوجة عليها ذات معنى (الفصل 20). مساحة القطعة $\sigma(K)$ هي

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

السرج z = x2 - y2 بجوار المبدأ، مع منحنياته الإحداثية (منحنيات u بالأزرق، ومنحنيات v بالأخضر)، والمستوي المماس في M_0 = (0,0,0) (بالمتقطع) والناظم الواحدي n. ويعبر السطح مستويه المماس — وهو النظير ذو البعدين لنقطة الانعطاف. — **شكل 19.1.** السرج $z = x^2 - y^2$ بجوار المبدأ، مع منحنياته الإحداثية (منحنيات $u$ بالأزرق، ومنحنيات $v$ بالأخضر)، والمستوي المماس في $M_0 = (0,0,0)$ (بالمتقطع) والناظم الواحدي $n$ . ويعبر السطح مستويه المماس — وهو النظير ذو البعدين لنقطة الانعطاف.

أربعة من السطوح التسعة من الدرجة الثانية المصنفة في مسألة نهاية الأسبوع، مرسومة بظلالها الخارجية ومنحنى مستوى (بالأحمر): المجسم الإهليلجي المحدود، والمجسم الزائدي ذو الطية الواحدة مزدوج التسطير بخصره، وطاسة المجسم المكافئ الإهليلجي، والسرج، الذي ينثني مقطعاه المكافئان في اتجاهين متعاكسين.

أمثلة

مثال 19.22 (تمثيلان بيانيان مختلفان، ومساحة واحدة)

فوق قرص الوحدة، قارن الطاسة $z = \frac12(x^2 + y^2)$ بالسرج $z = xy$ . فدالتا المساحة تحت التكامل (التمرين 19.5) هما

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{و}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

وهما متطابقتان. فللسطحين — أحدهما ينحني في الاتجاهات كلها بالطريقة نفسها والآخر على شكل سرج — مساحتان متساويتان تماما فوق أي منطقة، وهي $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ فوق قرص الوحدة. فعنصر المساحة لا يرى إلا طول التدرج، لا ترتيب الانثناء؛ وتمييز الطاسة من السرج يتطلب معطيات من الرتبة الثانية (بنية الإشارات المعروضة في الشكل 19.1)، لا يكشفها أي قدر من قياس المساحات. فالصورة الأساسية الأولى متري أعمى عن الشكل؛ أما الصورة الثانية المبصرة للشكل فتنتمي إلى السنة الثالثة.

مثال 19.23 (مساحة الكرة)

من أجل الخريطة الكروية في المثال 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

ومنه $E = R^2\cos^2\varphi$ ، $F = 0$ ، $G = R^2$ ، و $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . ومنه

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

مثال 19.24 (المخروط، متحققا منه بصيغة المدرسة)

من أجل المخروط $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ فوق التاج $a \leq \rho \leq b$ ، تعطي صيغة التمثيل البياني في التمرين 19.5 المقدار $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (بحساب $f_x = x/\rho$ و $f_y = y/\rho$ )، ومنه

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

وللتحقق مع صيغة طول الراسم $\pi\rho\ell$ في المثال 19.26: للمخروطين الكاملين ذوي نصفي قطر القاعدة $b$ و $a$ مساحتان جانبيتان $\pi b\cdot b\sqrt2$ و $\pi a\cdot a\sqrt2$ ، وفرقهما هو بالضبط $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . فخريطتان، وصيغتان، ومساحة واحدة — وهو الثبات المبرهن في التمرين 19.8، مشاهَدا في الطبيعة.

اقرأ في الفصل ←