प्रथम आधारभूत रूप क्या है? — गणित

परिभाषा 19.12 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 19 — पृष्ठ

मान लीजिए $\sigma \colon U \to \R^3$ कोई नियमित $\mathcal{C}^1$ पृष्ठ है। $(u,v)$ पर उसका प्रथम आधारभूत रूप $\R^2$ पर धनात्मक निश्चित द्विघात रूप है

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

जहाँ

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

उदाहरण

उदाहरण 19.14 (निर्देशांक वक्रों के बीच के कोण)

प्रथम आधारभूत रूप कोण भी मापता है: निर्देशांक वक्र $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ और $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ कोण $\theta$ पर मिलते हैं, जहाँ

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

अर्थात् अकेला गुणांक $F$ प्राचल-जाल की लांबिकता तय कर देता है। गोलीय चार्ट तथा हेलिकॉइड के लिए $F = 0$ : याम्योत्तर अक्षांश-वृत्तों को, और कुंडलियाँ क्षैतिज रेखकों को, समकोण पर काटती हैं — और इसीलिए उनके क्षेत्रफल-समाकल्य $\sqrt{EG}$ तक सिमट गए थे। किसी ग्राफ़-चार्ट के लिए $F = f_xf_y$ केवल वहीं लुप्त होता है जहाँ कोई आंशिक अवकलज लुप्त हो: किसी झुके हुए ग्राफ़ का निर्देशांक-जाल लांबिक नहीं होता, यद्यपि नीचे वाला $(x, y)$ -जाल होता है। जब किसी पृष्ठ पर परिकलन भारी दिखने लगें, तब पहली चाल $F = 0$ वाला चार्ट खोजना है।

उदाहरण 19.17 (हवाई जहाज़ ध्रुव के ऊपर से क्यों उड़ते हैं)

दो हवाई अड्डे अक्षांश $\varphi_0$ पर और विपरीत देशांतरों पर बैठे हैं: त्रिज्या $R$ के गोले पर $A = \sigma(0, \varphi_0)$ तथा $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ । अक्षांश-वृत्त के अनुदिश ( $\varphi \equiv \varphi_0$ ) लंबाई $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ है। ध्रुव के ऊपर वाले मार्ग के अनुदिश (याम्योत्तर $\theta = 0$ से ऊपर, याम्योत्तर $\theta = \pi$ से नीचे) वह $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ है। अक्षांश $\varphi_0 = \frac\pi3$ (साठ अंश) पर: अक्षांश-मार्ग $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , ध्रुवीय मार्ग $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — एक तिहाई छोटा। वस्तुतः $\intcc0{\pi/2}$ पर $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ (फलन $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ दोनों सिरों पर लुप्त होता है और उसका अवकलज $2 - \pi\sin\varphi$ एक बार चिह्न बदलता है, अतः वह पहले वर्धमान फिर ह्रासमान है, इसलिए अऋणात्मक): यानी ध्रुवीय मार्ग कभी नहीं हारता। प्रथम आधारभूत रूप ने किसी नौवहन प्रश्न को दो एक-पंक्ति समाकलों में बदल दिया; अभ्यास 19.6 इस विचार को याम्योत्तरों के लिए एक सच्ची न्यूनतमता-उपपत्ति तक ले जाता है।

उदाहरण 19.22 (दो अलग ग्राफ़, एक ही क्षेत्रफल)

इकाई चक्रिका के ऊपर कटोरे $z = \frac12(x^2 + y^2)$ और काठी $z = xy$ की तुलना कीजिए। उनके क्षेत्रफल-समाकल्य (अभ्यास 19.5) हैं

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{तथा}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

अर्थात् एक ही। दोनों पृष्ठ — एक हर दिशा में एक ही ओर मुड़ता हुआ, दूसरा काठी के आकार का — हर प्रांत पर ठीक बराबर क्षेत्रफल रखते हैं, इकाई चक्रिका के ऊपर $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ । क्षेत्रफल-अवयव केवल प्रवणक की लंबाई देखता है, मुड़ाव की व्यवस्था नहीं; कटोरे को काठी से अलग पहचानने के लिए द्वितीय-कोटि आँकड़े चाहिए (आकृति 19.1 में दिखाई चिह्न-संरचना), जिन्हें कितना भी क्षेत्रफल-मापन नहीं पकड़ पाता। प्रथम आधारभूत रूप: दूरिक, आकार के प्रति अंधा; आकार देखने वाला द्वितीय रूप तृतीय वर्ष का है।

अध्याय में पढ़ें →

उदाहरण

संबंधित पद