Qu'est-ce que « Première forme fondamentale » ? — Mathématiques

Définition 19.12 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 19 — Surfaces

Soit $\sigma \colon U \to \R^3$ une surface $\mathcal{C}^1$ régulière. Sa première forme fondamentale en $(u,v)$ est la forme quadratique définie positive sur $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

où

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Exemples

Exemple 19.14 (Angles entre courbes coordonnées)

La première forme fondamentale mesure aussi les angles : les courbes coordonnées $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ et $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ se rencontrent selon l’angle $\theta$ avec

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

le seul coefficient $F$ décide de l’orthogonalité du réseau de paramètres. Pour la carte sphérique et l’hélicoïde, $F = 0$ : les méridiens coupent les parallèles, et les hélices coupent les génératrices horizontales, à angle droit — ce qui explique pourquoi leurs intégrandes d’aire se réduisaient à $\sqrt{EG}$ . Pour une carte-graphe, $F = f_xf_y$ ne s’annule que là où une dérivée partielle s’annule : le réseau de coordonnées d’un graphe incliné n’est pas orthogonal, même si le réseau $(x, y)$ en dessous l’est. Quand les calculs sur une surface paraissent lourds, le premier réflexe est de chercher une carte avec $F = 0$ .

Exemple 19.17 (Pourquoi les avions de ligne survolent le pôle)

Deux aéroports sont à la latitude $\varphi_0$ et à des longitudes opposées : $A = \sigma(0, \varphi_0)$ et $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ sur la sphère de rayon $R$ . Le long du parallèle ( $\varphi \equiv \varphi_0$ ), la longueur est $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . Le long de la route par le pôle (en montant le méridien $\theta = 0$ , en descendant le méridien $\theta = \pi$ ), elle vaut $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . À la latitude $\varphi_0 = \frac\pi3$ (soixante degrés) : route par le parallèle $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , route polaire $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — un tiers plus courte. En fait $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ sur $\intcc0{\pi/2}$ (la fonction $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ s’annule aux deux bornes et sa dérivée $2 - \pi\sin\varphi$ change de signe une fois, donc elle est d’abord croissante puis décroissante, donc positive) : la route polaire ne perd jamais. La première forme fondamentale a transformé une question de navigation en deux intégrales d’une ligne ; l’Exercice 19.6 pousse l’idée jusqu’à une véritable preuve de minimalité pour les méridiens.

Exemple 19.22 (Deux graphes différents, une même aire)

Sur le disque unité, comparons le bol $z = \frac12(x^2 + y^2)$ et la selle $z = xy$ . Leurs intégrandes d’aire (Exercice 19.5) sont

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{et}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

identiques. Les deux surfaces — l’une se courbant de la même façon dans toutes les directions, l’autre en forme de selle — ont des aires exactement égales sur tout domaine, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sur le disque unité. L’élément d’aire ne voit que la longueur du gradient, pas la disposition de la courbure ; distinguer le bol de la selle exige des données du second ordre (la structure de signe exhibée dans la Figure 19.1), qu’aucune mesure d’aire ne détecte. Première forme fondamentale : métrique, aveugle à la forme ; la seconde forme, qui voit la forme, appartient à la troisième année.

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Exemples

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