Apa itu Bentuk fundamental pertama? — Matematika

Definisi 19.12 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 19 — Permukaan

Misalkan $\sigma \colon U \to \R^3$ permukaan $\mathcal{C}^1$ yang regular. Adapun bentuk fundamental pertamanya di $(u,v)$ adalah bentuk kuadratik definit positif pada $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

dengan

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Contoh

Contoh 19.14 (Sudut antar kurva koordinat)

Bentuk fundamental pertamanya juga mengukur sudut: sebab kurva koordinat $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ dan $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ bertemu pada sudut $\theta$ dengan

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

jadi satu koefisien $F$ belaka yang memutuskan keortogonalan jaring parameternya. Untuk bagan bola dan helikoidnya, $F = 0$ : sehingga meridiannya memotong paralelnya, dan heliksnya memotong garis pembangun mendatarnya, secara siku-siku — dan itulah sebabnya integran luasnya runtuh menjadi $\sqrt{EG}$ . Sedangkan untuk bagan grafik, $F = f_xf_y$ hanya lenyap di tempat sebuah turunan parsialnya lenyap: jadi jaring koordinat sebuah grafik yang miring tak ortogonal, walaupun jaring $(x, y)$ di bawahnya ortogonal. Jadi ketika perhitungan pada sebuah permukaan tampak berat, langkah pertamanya adalah mencari bagan dengan $F = 0$ .

Contoh 19.17 (Mengapa pesawat terbang melintasi kutub)

Dua bandara terletak pada lintang $\varphi_0$ dan bujur yang berlawanan: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ dan $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ pada bola berjari-jari $R$ . Sepanjang paralelnya (dengan $\varphi \equiv \varphi_0$ ), panjangnya adalah $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . Sedangkan sepanjang rute lewat kutubnya (naik di meridian $\theta = 0$ , lalu turun di meridian $\theta = \pi$ ), panjangnya $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . Pada lintang $\varphi_0 = \frac\pi3$ (yakni enam puluh derajat): rute paralelnya $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , sedangkan rute kutubnya $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — jadi sepertiga lebih pendek. Bahkan $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ pada $\intcc0{\pi/2}$ (sebab fungsi $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ lenyap di kedua ujungnya dan turunannya $2 - \pi\sin\varphi$ berganti tanda sekali, jadi ia mula-mula naik lalu turun, sehingga taknegatif): jadi rute kutubnya tak pernah kalah. Bentuk fundamental pertamanya mengubah pertanyaan navigasi menjadi dua integral satu baris; dan Latihan 19.6 mendorong gagasannya sampai ke bukti keminimalan yang sejati bagi meridiannya.

Contoh 19.22 (Dua grafik berbeda, satu luas)

Di atas cakram satuannya, bandingkanlah mangkuk $z = \frac12(x^2 + y^2)$ dan pelana $z = xy$ . Adapun integran luasnya (Latihan 19.5) adalah

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{dan}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

yang identik. Jadi kedua permukaannya — yang satu melengkung ke arah yang sama di segala arah, yang lain berbentuk pelana — berluas persis sama di atas setiap daerahnya, yakni $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ di atas cakram satuannya. Sebab unsur luasnya hanya melihat panjang gradiennya, bukan penataan pembengkokannya; jadi membedakan mangkuknya dari pelananya menuntut data orde dua (yakni struktur tanda yang dipamerkan pada Gambar 19.1), yang tak terdeteksi oleh pengukuran luas seberapa pun banyaknya. Jadi bentuk fundamental pertama itu metrik dan buta terhadap bentuknya; sedangkan bentuk kedua yang melihat bentuknya adalah milik Tahun ke-3.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait