Wat is Eerste fundamentaalvorm? — Wiskunde

Definitie 19.12 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 19 — Oppervlakken

Zij $\sigma \colon U \to \R^3$ een regulier $\mathcal{C}^1$ -oppervlak. Haar eerste fundamentaalvorm in $(u,v)$ is de positief definiete kwadratische vorm op $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

waarbij

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Voorbeelden

Voorbeeld 19.14 (Hoeken tussen coördinaatkrommen)

De eerste fundamentaalvorm meet ook hoeken: de coördinaatkrommen $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ en $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ ontmoeten elkaar onder de hoek $\theta$ met

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

de ene coëfficiënt $F$ beslist over de orthogonaliteit van het parameternet. Voor de bolkaart en de helicoïde is $F = 0$ : meridianen snijden parallellen, en schroeflijnen snijden de horizontale beschrijvende rechten, loodrecht — en daarom klapten hun oppervlakte-integranden ineen tot $\sqrt{EG}$ . Voor een grafiekkaart is $F = f_xf_y$ , dat alleen verdwijnt waar een partiële afgeleide dat doet: het coördinatennet van een gekantelde grafiek is niet orthogonaal, ook al is het $(x, y)$ -net eronder dat wel. Zien berekeningen op een oppervlak er zwaar uit, dan is de eerste zet: zoek een kaart met $F = 0$ .

Voorbeeld 19.17 (Waarom lijnvliegtuigen over de pool vliegen)

Twee luchthavens liggen op breedtegraad $\varphi_0$ en op tegengestelde lengtegraden: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ en $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ op de bol met straal $R$ . Langs de parallel ( $\varphi \equiv \varphi_0$ ) is de lengte $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . Langs de route over de pool (langs de meridiaan $\theta = 0$ omhoog en langs de meridiaan $\theta = \pi$ omlaag) is zij $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . Op breedtegraad $\varphi_0 = \frac\pi3$ (zestig graden): route over de parallel $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , route over de pool $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — een derde korter. Sterker nog, $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ op $\intcc0{\pi/2}$ (de functie $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ verdwijnt in beide uiteinden en haar afgeleide $2 - \pi\sin\varphi$ verandert eenmaal van teken, dus is zij eerst stijgend en dan dalend, en bijgevolg niet-negatief): de polaire route verliest nooit. De eerste fundamentaalvorm maakte van een navigatievraag twee integralen van één regel; Oefening 19.6 drijft het idee door tot een echt minimaliteitsbewijs voor meridianen.

Voorbeeld 19.22 (Twee verschillende grafieken, één oppervlakte)

Vergelijk boven de eenheidsschijf de kom $z = \frac12(x^2 + y^2)$ met het zadel $z = xy$ . Hun oppervlakte-integranden (Oefening 19.5) zijn

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{en}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

identiek. De twee oppervlakken — het ene in alle richtingen dezelfde kant op gekromd, het andere zadelvormig — hebben boven elk gebied precies gelijke oppervlakten, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ boven de eenheidsschijf. Het oppervlakte-element ziet alleen de lengte van de gradiënt, niet de schikking van de buiging; de kom van het zadel onderscheiden vereist gegevens van tweede orde (de tekenstructuur uit Figuur 19.1), die geen enkele oppervlaktemeting opmerkt. De eerste fundamentaalvorm: metrisch, blind voor de vorm; de tweede vorm, die de vorm wél ziet, hoort bij bachelorjaar 3.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen