ما معنى النهاية عند نقطة؟ — الرياضيات

تعريف 21.2 رياضيات المرحلة الثانوية · 第 21 章 — النهايات والاتصال

ليكن $a \in \R$ ولتكن $f$ معرَّفة بجوار $a$ (إلا ربما عند $a$ ). نقول إن $f$ تؤول إلى $\ell \in \R$ عند $a$ ، ونكتب $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ ، إذا وُجد من أجل كل $\varepsilon > 0$ عدد $\delta > 0$ بحيث يكون من أجل كل $x \in D$ حيث $\abs{x - a} \leq \delta$ ، $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

ونقول إن $f$ تؤول إلى $+\infty$ عند $a$ إذا وُجد من أجل كل $M$ عدد $\delta > 0$ بحيث يكون $f(x) \geq M$ كلما كان $x \in D$ و $\abs{x - a} \leq \delta$ . وتقصر النهايات من جهة واحدة ( $x \to a^+$ ، $x \to a^-$ ) المتغير $x$ على $x > a$ أو $x < a$ .

在原文中阅读 ←

تعريف 13.1 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · 第 13 章 — النهايات والاتصال

ليكن $x_0 \in \overline{I}$ و $\ell \in \R$ . عندئذ يكون $f(x) \to \ell$ عندما $x \to x_0$ إذا كان

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

وتُعرَّف النهايات عند $\pm\infty$ والنهايات غير المنتهية بالنمط نفسه (إذ يصير $\abs{x - x_0} \leq \delta$ هو $x \geq M$ ؛ ويصير $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ هو $f(x) \geq M'$ ). وتقصر النهايات من جهة واحدة المتغيرَ $x$ على $x > x_0$ (ويُكتب $x \to x_0^+$ ) أو على $x < x_0$ . والنهاية وحيدة إذا وُجدت (بالبرهان نفسه في القضية 11.4).

示例

مثال 13.2 (نهاية بالحصر)

احسب $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . يعطي تأطير الجزء الصحيح $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ ، بعد الضرب في $x$ (وانتبه للإشارة!):

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

وينغلق الحصران من الجهتين على $1$ : فالنهاية هي $1$ . ولاحظ ما حدث: للمقدار $\lfloor \frac1x\rfloor$ وحده قفزات جامحة قرب $0$ ، لكن العامل $x$ يروّض كل قفزة (فالمقدار $x$ مضروبًا في قفزة واحدية صغير)، ولا ينجو إلا التأطير. والفكرة النافذة: نهايات جداء عامل صغير في عامل ذي تذبذب محدود مسائلُ حصر لا مسائل مبرهنة العمليات — إذ تحتاج مبرهنة العمليات إلى تقارب العاملين كليهما.

مثال 13.5 (لماذا يوجد شرط التركيب)

لتكن $g(y) = 0$ من أجل $y \neq 0$ و $g(0) = 1$ ، ولتكن $f$ مساوية $0$ تمامًا. عندئذ $f(x) \to 0$ عندما $x \to 0$ ، و $g(y) \to 0$ عندما $y \to 0$ ؛ ومع ذلك $g(f(x)) = g(0) = 1$ من أجل كل $x$ ، ومنه $g \circ f \to 1 \neq 0$ . فالدالة الداخلية تقف بالضبط على القيمة الممنوعة $\ell = 0$ إلى الأبد، وتتجاهل نهاية $g$ عند $0$ ما تفعله $g$ عند $0$ . وشرط النتيجة 13.4 — إمّا $g(\ell) = m$ (أي $g$ متصلة عند $\ell$ )، وإمّا $f \neq \ell$ بجوار $x_0$ — هو بالضبط ما يستبعد هذا. والفكرة النافذة: في الممارسة يركّب المرء دوالّ متصلة ويكون الشرط مجانيًا؛ وهو لا يعضّ إلا حين تُؤخذ النهايات على جوارات مثقوبة، ولذلك يتضمن تعريف $\lim_{x \to x_0}$ المستعمل في هذا الكتاب النقطةَ إذا كانت في مجموعة التعريف.

在原文中阅读 ←