تقارب ناظمي কী?

مثال 10.10 (متسلسلة واحدة، وثلاثة أحكام)

لنأخذ $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ على $\intco{0}{1}$. نقطيًا: تتقارب من أجل كل $x \in \intco01$ (بالمقارنة مع المتسلسلة الهندسية). ناظميًا على $\intcc{0}{a}$، مع $a < 1$: $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$، وهي قابلة للجمع. وليست ناظمية على $\intco{0}{1}$: $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$، و$\sum\frac1n$ تتباعد. وليست حتى منتظمة على $\intco{0}{1}$: إذ يقاوم الباقي قرب $1$،

ومن ثم $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$ من أجل كل $N$. والفكرة الختامية: تتعايش الأحكام الأربعة بسلام — فالمجموع $-\ln(1-x)$ متصل على $\intco{0}{1}$ لأن الاتصال لا يحتاج إلا الانتظام قرب كل نقطة، أي على القطع $\intcc0a$؛ والانفجار عند الحافة حقٌّ للمجموع.

مثال 10.13 (دالة ريمان $\zeta$)

تتقارب $\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ ناظميًا على كل نصف مستقيم $\intco{a}{+\infty}$، مع $a > 1$ (لأن $\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}$، وهي قابلة للجمع): ومن ثم فإن $\zeta$ متصلة على $\intoo{1}{+\infty}$؛ وبالاشتقاق حدًّا حدًّا (فالمتسلسلة المشتقة $\sum -\ln n\; n^{-s}$ تتقارب ناظميًا هي أيضًا على $\intco{a}{\infty}$)، تكون $\zeta$ من الصنف $C^1$ — وبالتكرار، من الصنف $C^\infty$ — مع $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}$. ولاحظ الانضباط: يُتحقَّق من التقارب الناظمي على أنصاف المستقيمات الجزئية، لا على المفتوح $\intoo{1}{\infty}$ نفسه، حيث يفشل.

مثال 10.14 (متسلسلة لوغاريتمية، منفَّذة إلى النهاية)

لتكن $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ على $\intoo{0}{\infty}$. وكل حدّ محدود على $\intco{\delta} \infty$ بالمقدار $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$، وهو حدّ متسلسلة هندسية متقاربة: فالتقارب ناظمي على كل $\intco\delta\infty$، ومن ثم فإن $F$ متصلة على $\intoo{0}{\infty}$. والمتسلسلة المشتقة $\sum -\eu^{-nx}$ متقاربة ناظميًا كذلك على $\intco\delta\infty$ ($\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}$)، ومن ثم فإن $F$ من الصنف $C^1$ بمشتق هندسي:

وبالتكرار، تكون $F$ من الصنف $C^\infty$. وبمكاملة $F'$ (فكلٌّ من $F$ و$x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ ينعدم عند $+\infty$ ولهما المشتق نفسه على $\intoo0\infty$):

وهي المتسلسلة اللوغاريتمية عند $t = \eu^{-x}$. والفكرة الختامية: حين $x \to 0^+$، $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$ — فتتباعد المتسلسلة لوغاريتميًا عند الحدّ، تمامًا مثل المتسلسلة التوافقية التي تصيرها عند $x = 0$؛ والتقارب الناظمي على $\intco\delta\infty$ دون $\intoo0\infty$ هو العَرَض.