¿Qué es convergencia normal?

Ejemplo 10.10 (Una serie, tres veredictos)

Tomemos $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ sobre $\intco{0}{1}$. Puntualmente: converge para todo $x \in \intco01$ (comparación con la serie geométrica). Normalmente sobre $\intcc{0}{a}$, $a < 1$: $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$, sumable. No normalmente sobre $\intco{0}{1}$: $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$, y $\sum\frac1n$ diverge. Ni siquiera uniformemente sobre $\intco{0}{1}$: el resto se resiste cerca de $1$,

de modo que $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$ para todo $N$. Moraleja: los cuatro veredictos conviven en paz; la suma $-\ln(1-x)$ es continua sobre $\intco{0}{1}$ porque la continuidad solo necesita uniformidad cerca de cada punto, es decir, sobre los segmentos $\intcc0a$; explotar en el borde es un derecho de la suma.

Ejemplo 10.13 (La función $\zeta$ de Riemann)

$\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ converge normalmente sobre toda semirrecta $\intco{a}{+\infty}$ con $a > 1$ ($\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}$, sumable): $\zeta$ es continua sobre $\intoo{1}{+\infty}$; y derivando término a término (la serie derivada $\sum -\ln n\; n^{-s}$ también converge normalmente sobre $\intco{a}{\infty}$), $\zeta$ es de clase $C^1$ —y, iterando, $C^\infty$— con $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}$. Obsérvese la disciplina: la convergencia normal se comprueba sobre subsemirrectas, nunca sobre el abierto $\intoo{1}{\infty}$ mismo, donde falla.

Ejemplo 10.14 (Una serie logarítmica, hasta el final)

Sea $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ sobre $\intoo{0}{\infty}$. Cada término está acotado sobre $\intco{\delta}\infty$ por $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$, término de una serie geométrica convergente: convergencia normal sobre cada $\intco\delta\infty$, luego $F$ es continua sobre $\intoo{0}{\infty}$. La serie derivada $\sum -\eu^{-nx}$ es igualmente normalmente convergente sobre $\intco\delta\infty$ ($\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}$), de modo que $F$ es $C^1$ con derivada geométrica:

Iterando, $F$ es de clase $C^\infty$. Integrando $F'$ (tanto $F$ como $x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ se anulan en $+\infty$ y tienen la misma derivada sobre $\intoo0\infty$):

la serie logarítmica en $t = \eu^{-x}$. Moraleja: cuando $x \to 0^+$, $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$; la serie diverge logarítmicamente en la frontera, exactamente igual que la serie armónica en la que se convierte en $x = 0$, y la convergencia normal sobre $\intco\delta\infty$ pero no sobre $\intoo0\infty$ es el síntoma.