O que é convergência normal?

Exemplo 10.10 (Uma série, três veredictos)

Tome $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ em $\intco{0}{1}$. Pontualmente: converge para todo $x \in \intco01$ (comparação com a série geométrica). Normalmente em $\intcc{0}{a}$, $a < 1$: $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$, somável. Não normalmente em $\intco{0}{1}$: $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$, e $\sum\frac1n$ diverge. Nem sequer uniformemente em $\intco{0}{1}$: o resto resiste perto de $1$,

logo $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$ para todo $N$. Lição final: os quatro veredictos convivem em paz — a soma $-\ln(1-x)$ é contínua em $\intco{0}{1}$ porque a continuidade só precisa de uniformidade perto de cada ponto, isto é, nos segmentos $\intcc0a$; explodir na borda é direito da soma.

Exemplo 10.13 (A função $\zeta$ de Riemann)

$\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ converge normalmente em toda semirreta $\intco{a}{+\infty}$, $a > 1$ ($\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}$, somável): $\zeta$ é contínua em $\intoo{1}{+\infty}$; derivando termo a termo (a série derivada $\sum -\ln n\; n^{-s}$ também converge normalmente em $\intco{a}{\infty}$), $\zeta$ é $C^1$ — e, iterando, $C^\infty$ — com $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}$. Note a disciplina: a convergência normal é verificada em sub-semirretas, nunca no aberto $\intoo{1}{\infty}$ propriamente dito, onde ela falha.

Exemplo 10.14 (Uma série logarítmica, trabalhada até o fim)

Seja $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ em $\intoo{0}{\infty}$. Cada termo é majorado em $\intco{\delta} \infty$ por $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$, uma série geométrica convergente: convergência normal em todo $\intco\delta\infty$, logo $F$ é contínua em $\intoo{0}{\infty}$. A série derivada $\sum -\eu^{-nx}$ é igualmente normalmente convergente em $\intco\delta\infty$ ($\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}$), de modo que $F$ é $C^1$ com derivada geométrica:

Iterando, $F$ é $C^\infty$. Integrando $F'$ (tanto $F$ quanto $x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ se anulam em $+\infty$ e têm a mesma derivada em $\intoo0\infty$):

a série logarítmica em $t = \eu^{-x}$. Lição final: quando $x \to 0^+$, $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$ — a série diverge logaritmicamente na fronteira, exatamente como a série harmônica em que ela se transforma em $x = 0$; a convergência normal em $\intco\delta\infty$ mas não em $\intoo0\infty$ é o sintoma.