Qu'est-ce que « convergence normale » ?

Exemple 10.10 (Une série, trois verdicts)

Prenons $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ sur $\intco{0}{1}$. Simplement : converge pour tout $x \in \intco01$ (comparaison avec la série géométrique). Normalement sur $\intcc{0}{a}$, $a < 1$ : $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$, sommable. Pas normalement sur $\intco{0}{1}$ : $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$, et $\sum\frac1n$ diverge. Pas même uniformément sur $\intco{0}{1}$ : le reste résiste près de $1$,

donc $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$ pour tout $N$. Éclairage final : les quatre verdicts coexistent paisiblement — la somme $-\ln(1-x)$ est continue sur $\intco{0}{1}$ car la continuité ne requiert l’uniformité que près de chaque point, c.-à-d. sur les segments $\intcc0a$ ; exploser au bord est le droit de la somme.

Exemple 10.13 (La fonction $\zeta$ de Riemann)

$\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ converge normalement sur toute demi-droite $\intco{a}{+\infty}$, $a > 1$ ($\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}$, sommable) : $\zeta$ est continue sur $\intoo{1}{+\infty}$ ; en dérivant terme à terme (la série dérivée $\sum -\ln n\; n^{-s}$ converge elle aussi normalement sur $\intco{a}{\infty}$), $\zeta$ est de classe $C^1$ — et, par itération, $C^\infty$ — avec $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}$. Noter la discipline : la convergence normale se vérifie sur des sous-demi-droites, jamais sur l’ouvert $\intoo{1}{\infty}$ lui-même, où elle échoue.

Exemple 10.14 (Une série logarithmique, traitée jusqu’au bout)

Posons $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ sur $\intoo{0}{\infty}$. Chaque terme est borné sur $\intco{\delta} \infty$ par $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$, une série géométrique convergente : convergence normale sur tout $\intco\delta\infty$, donc $F$ est continue sur $\intoo{0}{\infty}$. La série dérivée $\sum -\eu^{-nx}$ est de même normalement convergente sur $\intco\delta\infty$ ($\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}$), donc $F$ est de classe $C^1$ de dérivée géométrique :

Par itération, $F$ est de classe $C^\infty$. En intégrant $F'$ (aussi bien $F$ que $x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ s’annulent en $+\infty$ et ont la même dérivée sur $\intoo0\infty$) :

la série logarithmique en $t = \eu^{-x}$. Éclairage final : lorsque $x \to 0^+$, $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$ — la série diverge logarithmiquement au bord, exactement comme la série harmonique qu’elle devient en $x = 0$ ; la convergence normale sur $\intco\delta\infty$ mais non sur $\intoo0\infty$ en est le symptôme.