Wat is normale convergentie?

Voorbeeld 10.10 (Eén reeks, drie oordelen)

Neem $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ op $\intco{0}{1}$. Puntsgewijs: zij convergeert voor elke $x \in \intco01$ (vergelijking met de meetkundige reeks). Normaal op $\intcc{0}{a}$ met $a < 1$: $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$, sommeerbaar. Niet normaal op $\intco{0}{1}$: $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$, en $\sum\frac1n$ divergeert. Zelfs niet uniform op $\intco{0}{1}$: de restsom verzet zich bij $1$,

dus $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$ voor elke $N$. Het inzicht om te onthouden: alle vier de oordelen bestaan vreedzaam naast elkaar — de som $-\ln(1-x)$ is continu op $\intco{0}{1}$ omdat de continuïteit alleen uniformiteit bij elk punt nodig heeft, dat wil zeggen op de segmenten $\intcc0a$; aan de rand exploderen is het goed recht van de som.

Voorbeeld 10.13 (De $\zeta$-functie van Riemann)

$\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ convergeert normaal op elke halfrechte $\intco{a}{+\infty}$ met $a > 1$ ($\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}$, sommeerbaar): dus is $\zeta$ continu op $\intoo{1}{+\infty}$; en termsgewijs differentiëren (ook de afgeleide reeks $\sum -\ln n\; n^{-s}$ convergeert normaal op $\intco{a}{\infty}$) maakt $\zeta$ van klasse $C^1$ — en, na itereren, $C^\infty$ — met $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}$. Let op de discipline: de normale convergentie wordt op deelhalfrechten nagegaan, nooit op de open $\intoo{1}{\infty}$ zelf, waar zij faalt.

Voorbeeld 10.14 (Een logaritmische reeks, tot het eind uitgewerkt)

Zij $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ op $\intoo{0}{\infty}$. Elke term is op $\intco{\delta} \infty$ begrensd door $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$, een convergente meetkundige reeks: dus normale convergentie op elke $\intco\delta\infty$, en $F$ is continu op $\intoo{0}{\infty}$. De afgeleide reeks $\sum -\eu^{-nx}$ convergeert eveneens normaal op $\intco\delta\infty$ ($\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}$), dus is $F$ van klasse $C^1$ met een meetkundige afgeleide:

Itereren maakt $F$ van klasse $C^\infty$. Het integreren van $F'$ (zowel $F$ als $x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ verdwijnt bij $+\infty$ en beide hebben dezelfde afgeleide op $\intoo0\infty$) geeft

de logaritmische reeks in $t = \eu^{-x}$. Het inzicht om te onthouden: als $x \to 0^+$ is $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$ — de reeks divergeert logaritmisch aan de rand, precies zoals de harmonische reeks die zij in $x = 0$ wordt; normale convergentie op $\intco\delta\infty$ maar niet op $\intoo0\infty$ is het symptoom.