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गणित · शब्दावली

सामान्य अभिसरण क्या है?

परिभाषा 10.9 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 10 — फलनों के अनुक्रम और श्रेणियाँ

फलनों की कोई श्रेणी ∑un\sum u_n बिंदुवार/एकसमान रूप से तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग वैसा करें। और वह (XX पर) सामान्य रूप से तब अभिसरित होती है जब ∑∥un∥∞<∞\sum \norm{u_n}_\infty < \infty। सामान्य अभिसरण से एकसमान अभिसरण निकलता है (परिबद्ध फलनों की बानाख समष्टि में: प्रमेय 5.21), और उससे बिंदुवार; और दोनों निहितार्थ यथार्थ हैं।

उदाहरण

उदाहरण 10.10 (एक श्रेणी, तीन निर्णय)

[0, 1)\intco{0}{1} पर un(x)=xnnu_n(x) = \frac{x^n}{n} लीजिए। बिंदुवार: प्रत्येक x∈[0, 1)x \in \intco01 के लिए अभिसारी (गुणोत्तर श्रेणी से तुलना)। [0, a]\intcc{0}{a}, a<1a < 1 पर सामान्य: ∥un∥∞,[0, a]=ann\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}, जो योग्य है। [0, 1)\intco{0}{1} पर सामान्य नहीं: ∥un∥∞,[0, 1)=1n\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n, और ∑1n\sum\frac1n अपसरित होती है। [0, 1)\intco{0}{1} पर एकसमान तक नहीं: 11 के पास शेषपद अड़ जाता है,

RN(x)=∑n>Nxnn≥∑n=N+12Nxnn≥N x2N2N=x2N2→x→1−12,R_N(x) = \sum_{n>N}\frac{x^n}{n} \geq \sum_{n=N+1}^{2N}\frac{x^n}{n} \geq \frac{N\,x^{2N}}{2N} = \frac{x^{2N}}{2} \xrightarrow[x\to1^-]{} \frac12 ,

अतः प्रत्येक NN के लिए sup⁡[0, 1)∣RN∣≥12\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12। समापन दृष्टि: चारों निर्णय शांति से साथ रहते हैं — योग −ln⁡(1−x)-\ln(1-x) [0, 1)\intco{0}{1} पर संतत है क्योंकि संततता को केवल हर बिंदु के पास एकसमानता चाहिए, अर्थात् खंडों [0, a]\intcc0a पर; और किनारे पर फट जाना योग का अधिकार है।

उदाहरण 10.13 (रीमान ζ\zeta फलन)

ζ(s)=∑n≥1n−s\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s} प्रत्येक अर्धरेखा [a, +∞)\intco{a}{+\infty}, a>1a > 1 पर सामान्य रूप से अभिसरित होती है (∥n−s∥∞=n−a\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}, जो योग्य है): अतः ζ\zeta (1, +∞)\intoo{1}{+\infty} पर संतत है; और पद-दर-पद अवकलन करने पर (व्युत्पन्न श्रेणी ∑−ln⁡n  n−s\sum -\ln n\; n^{-s} भी [a, ∞)\intco{a}{\infty} पर सामान्य रूप से अभिसरित होती है) ζ\zeta C1C^1 है — और इसे दोहराने पर C∞C^\infty — जहाँ ζ′(s)=−∑ln⁡nns\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}। अनुशासन पर ध्यान दीजिए: सामान्य अभिसरण उप-अर्धरेखाओं पर जाँचा जाता है, कभी स्वयं विवृत (1, ∞)\intoo{1}{\infty} पर नहीं, जहाँ वह विफल हो जाता है।

उदाहरण 10.14 (एक लघुगणकीय श्रेणी, अंत तक की हुई)

(0, ∞)\intoo{0}{\infty} पर F(x)=∑n≥1e−nxnF(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n} लीजिए। [δ, ∞)\intco{\delta} \infty पर हर पद e−nδn≤e−nδ\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta} से परिबद्ध है, जो अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी है: अतः प्रत्येक [δ, ∞)\intco\delta\infty पर सामान्य अभिसरण, इसलिए FF (0, ∞)\intoo{0}{\infty} पर संतत है। व्युत्पन्न श्रेणी ∑−e−nx\sum -\eu^{-nx} भी [δ, ∞)\intco\delta\infty पर उसी तरह सामान्य रूप से अभिसारी है (∥e−nx∥∞,[δ, ∞)=e−nδ\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}), अतः FF गुणोत्तर अवकलज के साथ C1C^1 है:

F′(x)=−∑n≥1e−nx=−e−x1−e−x=−1ex−1.F'(x) = -\sum_{n\geq1}\eu^{-nx} = \frac{-\eu^{-x}}{1 - \eu^{-x}} = \frac{-1}{\eu^{x} - 1} .

और इसे दोहराने पर FF C∞C^\infty है। F′F' का समाकलन कीजिए (दोनों FF और x↦−ln⁡(1−e−x)x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x}) +∞+\infty पर लुप्त होते हैं और (0, ∞)\intoo0\infty पर उनके अवकलज एक ही हैं):

F(x)=−ln⁡(1−e−x),F(x) = -\ln\bigl(1 - \eu^{-x}\bigr),

अर्थात् t=e−xt = \eu^{-x} पर लघुगणकीय श्रेणी। समापन दृष्टि: x→0+x \to 0^+ होने पर F(x)=−ln⁡(x+O(x2))=ln⁡1x+O(x)F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x) — श्रेणी सीमा पर लघुगणकीय ढंग से अपसरित होती है, ठीक उसी हरात्मक श्रेणी की तरह जो वह x=0x = 0 पर बन जाती है; और [δ, ∞)\intco\delta\infty पर सामान्य अभिसरण पर (0, ∞)\intoo0\infty पर नहीं, यही उसका लक्षण है।

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