مشتق جزئي কী?

مثال 25.10 (منحنيات المستوى والتدرجات، على دالة واحدة)

خذ $f(x, y) = x^2 - y^2$. ومجموعات مستواها: $\{f = c\}$ قطعٌ زائد مفتوح يمينًا ويسارًا من أجل $c > 0$، وصعودًا ونزولًا من أجل $c < 0$، وزوج المستقيمين المتقاطعين $y = \pm x$ من أجل $c = 0$ — أي خريطة كنتور لممرّ جبلي، بنقطة السرج عند المبدأ حيث يتقاطع مستقيما المستوى المعدوم. والتدرج: $\nabla f = (2x, -2y)$. وعند النقطة $(2, 1)$ (على المستوى $c = 3$): $\nabla f = (4, -2)$، بينما تكون متجهة مماس منحني المستوى، معلَّمًا بجوار تلك النقطة بالمقدار $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$، هي $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ عند $t = 2$ — وفعلًا

فالتدرج عمودي على الكنتور، مشيرًا نحو قيم $f$ الأعلى (وهنا: بعيدًا عن محور $y$). وقراءتان أخريان: ينعدم التدرج عند السرج بالضبط، حيث تنقبض خريطة الكنتور؛ ويكون مستقيم المماس لمنحني المستوى عند $(2,1)$ هو $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$، أي $2x - y = 3$ — وهي المعادلة «$\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$» التي تعمّم مماس القطع الناقص في التمرين 24.11.

مثال 25.16 (دراسة بأربع نقاط، كاملة)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$. والتدرج:

والنقاط الحرجة: إذا كان $y = 0$، أعطت المعادلة الثانية $x \in \{0, 3\}$؛ وإذا كان $x = 0$، أعطت الأولى $y \in \{0, 3\}$؛ وإذا كان $xy \neq 0$، فحُلَّ $2x + y = 3$ و $x + 2y = 3$: ومنه $x = y = 1$. أي أربع نقاط: $(0,0)$ و $(3,0)$ و $(0,3)$ و $(1,1)$. والمشتقات الثانية: $r = -2y$ و $s = 3 - 2x - 2y$ و $t = -2x$.

• $(1,1)$: $r = -2$ و $s = -1$ و $t = -2$: ومنه $rt - s^2 = 3 > 0$ و $r < 0$: أي قيمة عظمى موضعية، $f(1,1) = 1$.
• $(0,0)$: $r = t = 0$ و $s = 3$: ومنه $rt - s^2 = -9 < 0$: أي سرج؛ وكذلك $(3, 0)$ ($s = -3$) و $(0, 3)$: أي ثلاثة سروج.

والقيمة العظمى موضعية فقط: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$. وتحقق التناظر: $f(x, y) = f(y, x)$، وفعلًا تكون المجموعة الحرجة والتصنيف متناظرين في $x \leftrightarrow y$. والتفسير: بين المستطيلات ذات الفسحة $x, y \geq 0$ و $x + y \leq 3$، يكون الجداء $xy(3 - x - y)$ لِما في «أجزاء» $3$ الثلاثة أكبرَ ما يكون عندما تتساوى الأجزاء — وهو ظلٌّ في متغيرين لمبدأ المتوسطين الحسابي والهندسي.