Apa itu turunan parsial?

Contoh 25.10 (Kurva aras dan gradien, pada satu fungsi)

Ambillah $f(x, y) = x^2 - y^2$. Himpunan arasnya: $\{f = c\}$ berupa hiperbola yang terbuka kiri-kanan untuk $c > 0$, atas-bawah untuk $c < 0$, dan sepasang garis bersilangan $y = \pm x$ untuk $c = 0$ — yaitu peta kontur sebuah pelana gunung, dengan titik pelananya di titik asalnya, yaitu tempat kedua garis yang beraras nol bersilangan. Gradiennya: $\nabla f = (2x, -2y)$. Pada titik $(2, 1)$ (di aras $c = 3$): $\nabla f = (4, -2)$, sedangkan vektor singgung kurva arasnya, yang diparameterkan dekat titik itu oleh $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$, adalah $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ di $t = 2$ — dan memang

yaitu gradien yang tegak lurus konturnya, yang menunjuk ke nilai $f$ yang lebih tinggi (di sini: menjauhi sumbu $y$). Dua bacaan lagi: bahwa gradiennya lenyap tepat pada pelananya, tempat peta konturnya menjepit; dan bahwa garis singgung pada kurva aras di $(2,1)$ adalah $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$, yaitu $2x - y = 3$ — yakni persamaan “$\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$” yang mengampat garis singgung elips pada Latihan 24.11.

Contoh 25.16 (Kajian empat titik, selengkapnya)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$. Gradiennya:

Titik kritisnya: jika $y = 0$, maka persamaan keduanya memberikan $x \in \{0, 3\}$; jika $x = 0$, maka yang pertama memberikan $y \in \{0, 3\}$; sedangkan jika $xy \neq 0$, pecahkanlah $2x + y = 3$, $x + 2y = 3$: jadi $x = y = 1$. Empat titik: $(0,0)$, $(3,0)$, $(0,3)$, $(1,1)$. Turunan keduanya: $r = -2y$, $s = 3 - 2x - 2y$, $t = -2x$.

• $(1,1)$: $r = -2$, $s = -1$, $t = -2$: $rt - s^2 = 3 > 0$, $r < 0$: jadi maksimum lokal, $f(1,1) = 1$.
• $(0,0)$: $r = t = 0$, $s = 3$: $rt - s^2 = -9 < 0$: jadi pelana; demikian pula $(3, 0)$ ($s = -3$) dan $(0, 3)$: jadi tiga pelana.

Maksimumnya hanya lokal: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$. Periksa kesetangkupannya: $f(x, y) = f(y, x)$, dan memang himpunan kritis dan penggolongannya setangkup pada $x \leftrightarrow y$. Tafsirannya: di antara persegi panjang berkelonggaran $x, y \geq 0$, $x + y \leq 3$, hasil kali $xy(3 - x - y)$ atas ketiga “bagian” $3$ terbesar ketika bagiannya sama — yaitu bayangan dua variabel bagi asas AM–GM.