¿Qué es derivada parcial?

Ejemplo 25.10 (Curvas de nivel y gradientes, sobre una sola función)

Tómese $f(x, y) = x^2 - y^2$. Sus conjuntos de nivel: $\{f = c\}$ es una hipérbola que se abre a izquierda y derecha si $c > 0$, hacia arriba y abajo si $c < 0$, y el par de rectas cruzadas $y = \pm x$ si $c = 0$ — el mapa de curvas de nivel de un puerto de montaña, con el punto de silla en el origen donde se cruzan las dos rectas de nivel cero. Gradiente: $\nabla f = (2x, -2y)$. En el punto $(2, 1)$ (sobre el nivel $c = 3$): $\nabla f = (4, -2)$, mientras que el vector tangente de la curva de nivel, parametrizada cerca de ese punto por $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$, es $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ en $t = 2$ — y en efecto

gradiente perpendicular a la curva de nivel, apuntando hacia valores mayores de $f$ (aquí: alejándose del eje $y$). Dos lecturas más: el gradiente se anula exactamente en el punto de silla, donde el mapa de niveles se estrangula; y la recta tangente a la curva de nivel en $(2,1)$ es $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$, es decir, $2x - y = 3$ — la ecuación «$\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$» que generaliza la tangente a la elipse de Ejercicio 24.11.

Ejemplo 25.16 (Un estudio de cuatro puntos, completo)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$. Gradiente:

Puntos críticos: si $y = 0$, la segunda ecuación da $x \in \{0, 3\}$; si $x = 0$, la primera da $y \in \{0, 3\}$; si $xy \neq 0$, se resuelve $2x + y = 3$, $x + 2y = 3$: $x = y = 1$. Cuatro puntos: $(0,0)$, $(3,0)$, $(0,3)$, $(1,1)$. Derivadas segundas: $r = -2y$, $s = 3 - 2x - 2y$, $t = -2x$.

• $(1,1)$: $r = -2$, $s = -1$, $t = -2$: $rt - s^2 = 3 > 0$, $r < 0$: máximo local, $f(1,1) = 1$.
• $(0,0)$: $r = t = 0$, $s = 3$: $rt - s^2 = -9 < 0$: punto de silla; lo mismo en $(3, 0)$ ($s = -3$) y en $(0, 3)$: tres puntos de silla.

El máximo es solo local: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$. Comprobación de simetría: $f(x, y) = f(y, x)$, y en efecto el conjunto crítico y la clasificación son simétricos en $x \leftrightarrow y$. Interpretación: entre los rectángulos con holgura $x, y \geq 0$, $x + y \leq 3$, el producto $xy(3 - x - y)$ de las tres «partes» de $3$ es máximo cuando las partes son iguales — una sombra en dos variables de la desigualdad entre medias.