आंशिक अवकलज क्या है?

उदाहरण 25.10 (स्तर वक्र और प्रवणताएँ, एक ही फलन पर)

$f(x, y) = x^2 - y^2$ लीजिए। उसके स्तर समुच्चय: $c > 0$ के लिए $\{f = c\}$ दाएँ-बाएँ खुलता अतिपरवलय है, $c < 0$ के लिए ऊपर-नीचे खुलता, और $c = 0$ के लिए एक-दूसरे को काटती रेखाओं का युग्म $y = \pm x$ — किसी पर्वतीय दर्रे का समोच्च चित्र, जिसका काठी बिंदु मूल बिंदु पर है, जहाँ दोनों शून्य-स्तर रेखाएँ कटती हैं। प्रवणता: $\nabla f = (2x, -2y)$। बिंदु $(2, 1)$ पर (स्तर $c = 3$ पर): $\nabla f = (4, -2)$, जबकि स्तर वक्र का स्पर्श सदिश, यदि उसे उस बिंदु के पास $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$ से प्राचलित किया जाए, $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr)$ है, अर्थात् $t = 2$ पर $(1, 2)$ — और सचमुच

प्रवणता समोच्च पर लंब है और $f$ के बड़े मानों की ओर संकेत करती है (यहाँ: $y$-अक्ष से दूर)। दो और पाठ: प्रवणता ठीक काठी पर लुप्त होती है, जहाँ समोच्च चित्र सिकुड़ कर चिमटी बन जाता है; और $(2,1)$ पर स्तर वक्र की स्पर्शरेखा $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$, अर्थात् $2x - y = 3$ है — वही समीकरण “$\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$” जो अभ्यास 24.11 की दीर्घवृत्त-स्पर्शरेखा का सामान्यीकरण है।

उदाहरण 25.16 (चार बिंदुओं का पूरा अध्ययन)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$। प्रवणता:

क्रांतिक बिंदु: यदि $y = 0$, तो दूसरा समीकरण $x \in \{0, 3\}$ देता है; यदि $x = 0$, तो पहला $y \in \{0, 3\}$ देता है; और यदि $xy \neq 0$, तो $2x + y = 3$, $x + 2y = 3$ हल कीजिए: $x = y = 1$। चार बिंदु: $(0,0)$, $(3,0)$, $(0,3)$, $(1,1)$। द्वितीय अवकलज: $r = -2y$, $s = 3 - 2x - 2y$, $t = -2x$।

• $(1,1)$: $r = -2$, $s = -1$, $t = -2$: $rt - s^2 = 3 > 0$, $r < 0$: स्थानीय अधिकतम, $f(1,1) = 1$।
• $(0,0)$: $r = t = 0$, $s = 3$: $rt - s^2 = -9 < 0$: काठी; इसी प्रकार $(3, 0)$ ($s = -3$) और $(0, 3)$: तीन काठियाँ।

अधिकतम केवल स्थानीय है: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$। सममिति की जाँच: $f(x, y) = f(y, x)$, और सचमुच क्रांतिक समुच्चय तथा वर्गीकरण दोनों $x \leftrightarrow y$ में सममित हैं। व्याख्या: $x, y \geq 0$, $x + y \leq 3$ वाले ढीले आयतों में $3$ के तीनों “भागों” का गुणनफल $xy(3 - x - y)$ तब सबसे बड़ा होता है जब भाग बराबर हों — समांतर माध्य–गुणोत्तर माध्य वाले सिद्धांत की दो चरों वाली छाया।