Qu'est-ce que « dérivée partielle » ?

Exemple 25.10 (Lignes de niveau et gradients, sur une même fonction)

Prenons $f(x, y) = x^2 - y^2$. Ses lignes de niveau : $\{f = c\}$ est une hyperbole ouverte vers la gauche et la droite pour $c > 0$, vers le haut et le bas pour $c < 0$, et le couple de droites sécantes $y = \pm x$ pour $c = 0$ — la carte des courbes de niveau d’un col de montagne, avec le point col à l’origine où les deux droites de niveau nul se croisent. Gradient : $\nabla f = (2x, -2y)$. Au point $(2, 1)$ (sur le niveau $c = 3$) : $\nabla f = (4, -2)$, tandis que le vecteur tangent à la ligne de niveau, paramétrée près de ce point par $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$, vaut $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ en $t = 2$ — et de fait

gradient perpendiculaire à la courbe de niveau, pointant vers les valeurs plus grandes de $f$ (ici : en s’éloignant de l’axe des $y$). Deux lectures de plus : le gradient s’annule exactement au point col, là où la carte des niveaux se pince ; et la droite tangente à la ligne de niveau en $(2,1)$ est $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$, c’est-à-dire $2x - y = 3$ — l’équation « $\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$ » qui généralise la tangente à l’ellipse de l’Exercice 24.11.

Exemple 25.16 (Une étude à quatre points, en entier)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$. Gradient :

Points critiques : si $y = 0$, la seconde équation donne $x \in \{0, 3\}$ ; si $x = 0$, la première donne $y \in \{0, 3\}$ ; si $xy \neq 0$, on résout $2x + y = 3$, $x + 2y = 3$ : $x = y = 1$. Quatre points : $(0,0)$, $(3,0)$, $(0,3)$, $(1,1)$. Dérivées secondes : $r = -2y$, $s = 3 - 2x - 2y$, $t = -2x$.

• $(1,1)$ : $r = -2$, $s = -1$, $t = -2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$, $r < 0$ : maximum local, $f(1,1) = 1$.
• $(0,0)$ : $r = t = 0$, $s = 3$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : point col ; de même $(3, 0)$ ($s = -3$) et $(0, 3)$ : trois points cols.

Le maximum n’est que local : $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$. Contrôle par symétrie : $f(x, y) = f(y, x)$, et de fait l’ensemble critique et la classification sont symétriques en $x \leftrightarrow y$. Interprétation : parmi les rectangles avec marge $x, y \geq 0$, $x + y \leq 3$, le produit $xy(3 - x - y)$ des trois « parts » de $3$ est maximal quand les parts sont égales — une ombre à deux variables du principe de l’inégalité arithmético-géométrique.