Wat is partiële afgeleide?

Voorbeeld 25.10 (Niveaukrommen en gradiënten, op één functie)

Neem $f(x, y) = x^2 - y^2$. Haar niveauverzamelingen: $\{f = c\}$ is een hyperbool die links-rechts opent voor $c > 0$ en boven-onder voor $c < 0$, en het gekruiste paar rechten $y = \pm x$ voor $c = 0$ — de hoogtekaart van een bergpas, met het zadelpunt in de oorsprong waar de twee nulniveaurechten elkaar kruisen. Gradiënt: $\nabla f = (2x, -2y)$. In het punt $(2, 1)$ (op het niveau $c = 3$) is $\nabla f = (4, -2)$, terwijl de raakvector van de niveaukromme, in de buurt van dat punt geparametriseerd door $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$, gelijk is aan $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ bij $t = 2$ — en inderdaad is

de gradiënt staat loodrecht op de hoogtelijn en wijst naar hogere waarden van $f$ (hier: weg van de $y$-as). Nog twee lezingen: de gradiënt wordt precies nul in het zadel, waar de hoogtekaart insnoert; en de raaklijn aan de niveaukromme in $(2,1)$ is $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$, dus $2x - y = 3$ — de vergelijking “$\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$” die de raaklijn aan de ellips van Oefening 24.11 veralgemeent.

Voorbeeld 25.16 (Een onderzoek met vier punten, volledig)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$. Gradiënt:

Kritieke punten: is $y = 0$, dan geeft de tweede vergelijking $x \in \{0, 3\}$; is $x = 0$, dan geeft de eerste $y \in \{0, 3\}$; is $xy \neq 0$, los dan $2x + y = 3$, $x + 2y = 3$ op: $x = y = 1$. Vier punten: $(0,0)$, $(3,0)$, $(0,3)$, $(1,1)$. Tweede afgeleiden: $r = -2y$, $s = 3 - 2x - 2y$, $t = -2x$.

• $(1,1)$: $r = -2$, $s = -1$, $t = -2$: $rt - s^2 = 3 > 0$ en $r < 0$: een lokaal maximum, $f(1,1) = 1$.
• $(0,0)$: $r = t = 0$, $s = 3$: $rt - s^2 = -9 < 0$: een zadel; net zo $(3, 0)$ ($s = -3$) en $(0, 3)$: drie zadels.

Het maximum is slechts lokaal: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$. Symmetriecontrole: $f(x, y) = f(y, x)$, en inderdaad zijn de kritieke verzameling en de classificatie symmetrisch in $x \leftrightarrow y$. Interpretatie: onder de rechthoeken met speling $x, y \geq 0$, $x + y \leq 3$ is het product $xy(3 - x - y)$ van de drie “delen” van $3$ het grootst wanneer de delen gelijk zijn — een schaduw in twee veranderlijken van het rekenkundig–meetkundige beginsel.