O que é derivada parcial?

Exemplo 25.10 (Curvas de nível e gradientes, numa só função)

Tome $f(x, y) = x^2 - y^2$. Os seus conjuntos de nível: $\{f = c\}$ é uma hipérbole aberta para a esquerda e para a direita se $c > 0$, e para cima e para baixo se $c < 0$, e o par de retas cruzadas $y = \pm x$ para $c = 0$ — o mapa de contornos de um colo de montanha, com o ponto de sela na origem, onde as duas retas de nível zero se cruzam. Gradiente: $\nabla f = (2x, -2y)$. No ponto $(2, 1)$ (no nível $c = 3$): $\nabla f = (4, -2)$, ao passo que o vetor tangente da curva de nível, parametrizada perto desse ponto por $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$, é $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ em $t = 2$ — e de fato

gradiente perpendicular ao contorno, apontando para valores mais altos de $f$ (aqui: afastando-se do eixo $y$). Mais duas leituras: o gradiente anula-se exatamente na sela, onde o mapa de contornos se estrangula; e a reta tangente à curva de nível em $(2,1)$ é $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$, isto é, $2x - y = 3$ — a equação “$\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$” que generaliza a tangente à elipse do Exercício 24.11.

Exemplo 25.16 (Um estudo de quatro pontos, por extenso)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$. Gradiente:

Pontos críticos: se $y = 0$, a segunda equação dá $x \in \{0, 3\}$; se $x = 0$, a primeira dá $y \in \{0, 3\}$; se $xy \neq 0$, resolva $2x + y = 3$, $x + 2y = 3$: $x = y = 1$. Quatro pontos: $(0,0)$, $(3,0)$, $(0,3)$, $(1,1)$. Derivadas segundas: $r = -2y$, $s = 3 - 2x - 2y$, $t = -2x$.

• $(1,1)$: $r = -2$, $s = -1$, $t = -2$: $rt - s^2 = 3 > 0$, $r < 0$: máximo local, $f(1,1) = 1$.
• $(0,0)$: $r = t = 0$, $s = 3$: $rt - s^2 = -9 < 0$: sela; do mesmo modo $(3, 0)$ ($s = -3$) e $(0, 3)$: três selas.

O máximo é apenas local: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$. Verificação de simetria: $f(x, y) = f(y, x)$, e de fato o conjunto crítico e a classificação são simétricos em $x \leftrightarrow y$. Interpretação: entre os retângulos com folga $x, y \geq 0$, $x + y \leq 3$, o produto $xy(3 - x - y)$ das três “partes” de $3$ é máximo quando as partes são iguais — uma sombra em duas variáveis do princípio das médias aritmética e geométrica.