حول GitHub المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى السحب العكسي؟

يُعرف أيضًا باسم: سحب عكسي

تعريف 21.10 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 21 — الصيغ التفاضلية ومبرهنة ستوكس

ليكن φ ⁣:U→V\varphi\colon U \to V ناعمًا (حيث U⊆RmU \subseteq \R^m و V⊆RnV \subseteq \R^n مفتوحتان). السحب العكسي φ∗ ⁣:Ωk(V)→Ωk(U)\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U) معرَّفٌ نقطةً نقطة بالسحب العكسي الخطي على امتداد التفاضل: (φ∗ω)x=(Dφ(x))∗ ωφ(x)(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}. وعمليًّا، يعوّض φ∗\varphi^*: φ∗f=f∘φ\varphi^*f = f \circ \varphi على الدوال، و φ∗( ⁣dyi)= ⁣dφi=∑j∂φi∂xj ⁣dxj\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j، و φ∗(a  ⁣dyi1∧⋯∧ ⁣dyik)=(a∘φ)  ⁣dφi1∧⋯∧ ⁣dφik\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}.

أمثلة

مثال 21.12 (الإحداثيات القطبية)

من أجل φ(r,θ)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta): φ∗ ⁣dx=cos⁡θ  ⁣dr−rsin⁡θ  ⁣dθ\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta، φ∗ ⁣dy=sin⁡θ  ⁣dr+rcos⁡θ  ⁣dθ\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta، ومنه

φ∗( ⁣dx∧ ⁣dy)=(cos⁡θ  ⁣dr−rsin⁡θ  ⁣dθ)∧(sin⁡θ  ⁣dr+rcos⁡θ  ⁣dθ)=r  ⁣dr∧ ⁣dθ,\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

فيظهر محدد ياكوبي في المثال 11.12 بجبر محض — دون أي نظرية قياس. ويحوّل التمرين 21.9 هذه الملاحظة إلى عبارة: أنه من أجل التكاملات الموجَّهة، تكون صيغة تغيير المتغيّرات هي صيغة السحب العكسي.

اقرأ في الفصل ←