O que é Pullback? — Matemática

Definição 21.10 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 21 — Formas diferenciais e o teorema de Stokes

Seja $\varphi\colon U \to V$ suave ( $U \subseteq \R^m$ , $V \subseteq \R^n$ abertos). O pullback $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ é definido ponto a ponto pelo pullback linear ao longo da diferencial: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$ . Concretamente, $\varphi^*$ substitui: $\varphi^*f = f \circ \varphi$ em funções, $\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j$ , e $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$ .

Exemplos

Exemplo 21.12 (Coordenadas polares)

Para $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ : $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta$ , $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta$ , de modo que

\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

o jacobiano do Exemplo 11.12 aparecendo por pura álgebra — sem teoria da medida. O Exercício 21.9 transforma essa observação em enunciado: para integrais orientadas, a fórmula de mudança de variáveis é a fórmula do pullback.

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