Apa itu Tarikan balik? — Matematika

Definisi 21.10 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 21 — Bentuk Diferensial dan Teorema Stokes

Misalkan $\varphi\colon U \to V$ mulus ( $U \subseteq \R^m$ , $V \subseteq \R^n$ terbuka). Yang disebut tarikan balik, $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ , didefinisikan secara titik demi titik oleh tarikan balik linear sepanjang diferensialnya: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$ . Secara konkret, $\varphi^*$ mensubstitusi: $\varphi^*f = f \circ \varphi$ pada fungsi, $\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j$ , dan $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$ .

Contoh

Contoh 21.12 (Koordinat kutub)

Untuk $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ : $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta$ , $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta$ , sehingga

\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

yakni Jacobi Contoh 11.12 yang muncul lewat aljabar murni — tanpa teori ukuran. Latihan 21.9 mengubah catatan ini menjadi sebuah pernyataan: bahwa bagi integral berorientasi, rumus penggantian variabelnya adalah rumus tarikan baliknya.

Baca dalam konteks →