Qu'est-ce que « Image réciproque » ? — Mathématiques

Définition 21.10 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 21 — Formes différentielles et théorème de Stokes

Soit $\varphi\colon U \to V$ lisse ( $U \subseteq \R^m$ , $V \subseteq \R^n$ ouverts). L’image réciproque $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ est définie ponctuellement par l’image réciproque linéaire le long de la différentielle : $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$ . Concrètement, $\varphi^*$ substitue : $\varphi^*f = f \circ \varphi$ sur les fonctions, $\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j$ , et $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$ .

Exemples

Exemple 21.12 (Coordonnées polaires)

Pour $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ : $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta$ , $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta$ , donc

\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

le jacobien de l’Exemple 11.12 apparaissant par pure algèbre — sans théorie de la mesure. l’Exercice 21.9 transforme cette remarque en énoncé : pour les intégrales orientées, la formule de changement de variables est la formule d’image réciproque.

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Exemples

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