Tous les livres

Professionnel

Applis À propos Coach Connexion Commencer la lecture

Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « Image réciproque » ?

Définition 21.10 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 21 — Formes différentielles et théorème de Stokes

Soit φ ⁣:U→V\varphi\colon U \to V lisse (U⊆RmU \subseteq \R^m, V⊆RnV \subseteq \R^n ouverts). L’image réciproque φ∗ ⁣:Ωk(V)→Ωk(U)\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U) est définie ponctuellement par l’image réciproque linéaire le long de la différentielle : (φ∗ω)x=(Dφ(x))∗ ωφ(x)(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}. Concrètement, φ∗\varphi^* substitue : φ∗f=f∘φ\varphi^*f = f \circ \varphi sur les fonctions, φ∗( ⁣dyi)= ⁣dφi=∑j∂φi∂xj ⁣dxj\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j, et φ∗(a  ⁣dyi1∧⋯∧ ⁣dyik)=(a∘φ)  ⁣dφi1∧⋯∧ ⁣dφik\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}.

Exemples

Exemple 21.12 (Coordonnées polaires)

Pour φ(r,θ)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) : φ∗ ⁣dx=cos⁡θ  ⁣dr−rsin⁡θ  ⁣dθ\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta, φ∗ ⁣dy=sin⁡θ  ⁣dr+rcos⁡θ  ⁣dθ\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta, donc

φ∗( ⁣dx∧ ⁣dy)=(cos⁡θ  ⁣dr−rsin⁡θ  ⁣dθ)∧(sin⁡θ  ⁣dr+rcos⁡θ  ⁣dθ)=r  ⁣dr∧ ⁣dθ,\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

le jacobien de l’Exemple 11.12 apparaissant par pure algèbre — sans théorie de la mesure. l’Exercice 21.9 transforme cette remarque en énoncé : pour les intégrales orientées, la formule de changement de variables est la formule d’image réciproque.

Lire dans le chapitre →

Termes liés