Alle boeken

Professioneel

Apps Over Coach Inloggen Begin met lezen

Wiskunde · Begrippenlijst

Wat is Terugtrekking?

Definitie 21.10 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 21 — Differentiaalvormen en de stelling van Stokes

Zij φ ⁣:U→V\varphi\colon U \to V glad (U⊆RmU \subseteq \R^m, V⊆RnV \subseteq \R^n open). De terugtrekking φ∗ ⁣:Ωk(V)→Ωk(U)\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U) is puntsgewijs gedefinieerd met de lineaire terugtrekking langs de differentiaal: (φ∗ω)x=(Dφ(x))∗ ωφ(x)(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}. Concreet substitueert φ∗\varphi^*: φ∗f=f∘φ\varphi^*f = f \circ \varphi op functies, φ∗( ⁣dyi)= ⁣dφi=∑j∂φi∂xj ⁣dxj\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j, en φ∗(a  ⁣dyi1∧⋯∧ ⁣dyik)=(a∘φ)  ⁣dφi1∧⋯∧ ⁣dφik\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}.

Voorbeelden

Voorbeeld 21.12 (Poolcoördinaten)

Voor φ(r,θ)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) is φ∗ ⁣dx=cos⁡θ  ⁣dr−rsin⁡θ  ⁣dθ\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta en φ∗ ⁣dy=sin⁡θ  ⁣dr+rcos⁡θ  ⁣dθ\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta, dus

φ∗( ⁣dx∧ ⁣dy)=(cos⁡θ  ⁣dr−rsin⁡θ  ⁣dθ)∧(sin⁡θ  ⁣dr+rcos⁡θ  ⁣dθ)=r  ⁣dr∧ ⁣dθ,\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

waarbij de jacobiaan van Voorbeeld 11.12 met pure algebra opduikt — geen maattheorie. Oefening 21.9 maakt van die opmerking een uitspraak: voor georiënteerde integralen is de formule van de variabelensubstitutie de terugtrekkingsformule.

Lees in het hoofdstuk →