Wat is Terugtrekking? — Wiskunde

Definitie 21.10 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 21 — Differentiaalvormen en de stelling van Stokes

Zij $\varphi\colon U \to V$ glad ( $U \subseteq \R^m$ , $V \subseteq \R^n$ open). De terugtrekking $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ is puntsgewijs gedefinieerd met de lineaire terugtrekking langs de differentiaal: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$ . Concreet substitueert $\varphi^*$ : $\varphi^*f = f \circ \varphi$ op functies, $\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j$ , en $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 21.12 (Poolcoördinaten)

Voor $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ is $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta$ en $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta$ , dus

\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

waarbij de jacobiaan van Voorbeeld 11.12 met pure algebra opduikt — geen maattheorie. Oefening 21.9 maakt van die opmerking een uitspraak: voor georiënteerde integralen is de formule van de variabelensubstitutie de terugtrekkingsformule.

Lees in het hoofdstuk →