¿Qué es Retroceso? — Matemáticas

Definición 21.10 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 21 — Formas diferenciales y teorema de Stokes

Sea $\varphi\colon U \to V$ regular ( $U \subseteq \R^m$ , $V \subseteq \R^n$ abiertos). El retroceso $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ se define puntualmente por el retroceso lineal a lo largo de la diferencial: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$ . En concreto, $\varphi^*$ sustituye: $\varphi^*f = f \circ \varphi$ en las funciones, $\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j$ y $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$ .

Ejemplos

Ejemplo 21.12 (Coordenadas polares)

Para $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ : $\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta$ , $\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta$ , de modo que

\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

apareciendo el jacobiano del Ejemplo 11.12 por pura álgebra — sin teoría de la medida. El Ejercicio 21.9 convierte esta observación en un enunciado: para las integrales orientadas, la fórmula del cambio de variables es la fórmula del retroceso.

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