प्रत्यानयन क्या है?

मान लीजिए $\varphi\colon U \to V$ चिकना है ($U \subseteq \R^m$, $V \subseteq \R^n$ विवृत)। प्रत्यानयन $\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U)$ बिंदुशः अवकलज के अनुदिश रैखिक प्रत्यानयन से परिभाषित होता है: $(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}$। मूर्त रूप में, $\varphi^*$ प्रतिस्थापन कर देता है: फलनों पर $\varphi^*f = f \circ \varphi$, $\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j$, और $\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$।