كسر ناطق কী?

مثال 9.2 (قراءة الأقطاب والرتب والدرجة)

لتكن $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$. عمّل الطبقتين: البسط $X(X-1)(X+1)$، والمقام $X^2(X-1)^2$؛ واختصر العامل المشترك $X(X-1)$:

والأقطاب: $0$ و $1$، وكلاهما بسيط — فالرتب تُقرأ على المقام المختزل، ومنه فالجذور المضاعفة الظاهرة في المقام الأصلي لا شأن لها. والدرجة: $\deg F = 1 - 2 = -1$، وهي مرئية مقاربيًا (إذ $xF(x) \to 1$ عندما $x \to \infty$). و تسلك الدرجة سلوك درجة كثير الحدود ($\deg FG = \deg F + \deg G$ و$\deg(F + G) \leq \max$)، وهي قاعدة محاسبة تُستعمل باستمرار في مطاردات المعاملات أدناه: فكل حجة من نوع «نهاية $xF(x)$» عدُّ درجات متنكّر.

مثال 9.4 (اختزل أولًا ثم اقسم)

جد الجزء الصحيح للكسر $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$. فبالقسمة العمياء: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$، ومنه $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$. لكن الكسر لم يكن مختزلًا: إذ يشترك $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ و $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ في العامل $X + 1$، و

فالجزء الصحيح $X$ نفسه، لكن الجزء الكسري ينهار إلى لبنة واحدة، ولم يكن «القطب» عند $-1$ قطبًا البتة. فاختزل دائمًا إلى أبسط صورة قبل مطاردة الأقطاب: فأقطاب $F$ هي جذور المقام المختزل. (أمّا الجزء الصحيح فلا يتأثر بالاختزال، كما تضمنه الوحدانية في القضية 9.3.)

مثال 9.8

فكّك $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$. ثلاثة أقطاب بسيطة؛ وبالتغطية عند كلٍّ منها:

ومنه $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$. وللتحقق عند $X = 3$: مباشرةً، $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$؛ ومن التفكيك، $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$.