الفضاء الجزئي কী?

مثال 18.4

في $\mathcal{F}(\R, \R)$: الدوال المتصلة، و الدوال القابلة للاشتقاق، وكثيرات الحدود من الدرجة $\leq n$ (وتُكتب $K_n[X]$ داخل $K[X]$)، وحلول معادلة تفاضلية خطية متجانسة (وهذا بالضبط ما قاله المبرهنة 5.10). وأمثلة مضادة: $\{f : f(0) = 1\}$ (فلا صفر فيها)، والدرجة $n$ بالضبط (فهي غير مستقرة بالجمع).

مثال 18.5 (فضاء جزئي أو لا: أربعة أحكام، محاجَجة)

في فضاء المتتاليات الحقيقية:

• $\{u : u \text{ محدودة}\}$ هي فضاء جزئي: فالمقدار $0$ محدود، وإذا كان $\abs{u_n} \leq M$ و $\abs{v_n} \leq M'$، فإن $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$.
• $\{u : u_n \to 1\}$ ليست كذلك: فالمتتالية المعدومة مفقودة (ومجموع عضوين يؤول إلى $2$).
• $\{u : u \text{ رتيبة}\}$ ليست كذلك: فالمتتاليتان $u_n = n$ و $v_n = -n + (-1)^n$ رتيبتان، ومجموعهما $(-1)^n$ ليس كذلك؛ فالاستقرار بالجمع هو البديهية التي تفشل، وإن كانت المجموعة تحتوي $0$ وكل مضاعفات أعضائها السلّمية.
• $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ ليست كذلك: فهي تحتوي $0$ لكن $2u$ يفلت ما إن يكون $u$ عضوًا غير معدوم ($2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ عمومًا) — فالتربيع هو اللاخطية.

وترتيب العمل هو نفسه دائمًا: اختبر $0$ أولًا (فهو الأرخص)، ثم الاستقرار — وللنقض، يغلب زوجٌ مضاد صريح واحد أيَّ قدر من الشكّ.

مثال 18.12 (زوج متتامّ في $K_n[X]$)

ثبّت $a \in K$ وضع $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ و $G = \operatorname{Vect}(1)$ (وهي الثوابت). عندئذ $K_n[X] = F \oplus G$. فعلًا يتألف $F \cap G$ من الثوابت المنعدمة عند $a$، أي $\{0\}$؛ وكل $P$ يتفكّك

والتفكيك جدير بالحفظ: فطرح القيمة عند نقطة هو الكيفية المعيارية للإسقاط على «الدوال المنعدمة عند $a$». ولاحظ أن $F$ فضاء جزئي كبير و $G$ صغير؛ فليس على الزوج المتتامّ أن يكون متوازنًا بأيّ معنى.